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§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施

§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施. §5-1 纯弯曲. CD 段剪力为零,弯矩为常量,该段梁的变形称为纯弯曲。 AC 、 BD 段梁的内力既有弯矩又有剪力,该段梁的变形称为横力弯曲。. 梁的纯弯曲实验. 实验现象:横向线 ( a b )变形后仍为直线,但有转动;纵向线变为曲线,且上缩下伸;横向线与纵向线变形后仍正交。. 平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动,仍垂直于变形后的梁轴线。.

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§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施

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Presentation Transcript


  1. §5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施

  2. §5-1 纯弯曲 CD段剪力为零,弯矩为常量,该段梁的变形称为纯弯曲。 AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力,该段梁的变形称为横力弯曲。

  3. 梁的纯弯曲实验 实验现象:横向线(a b)变形后仍为直线,但有转动;纵向线变为曲线,且上缩下伸;横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动,仍垂直于变形后的梁轴线。

  4. 中性层:梁内一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此层纤维称中性层。中性层:梁内一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此层纤维称中性层。 中性轴:中性层与横截面的交线。 假设 ②纵向纤维间无正应力 ①平面假设

  5. 对称轴 m2 m1 e2 z x O1 O2 中性层 o y y 中性轴 e1 a1 a2 n1 n2 y dx O曲率中心 dq r m2 sy x M e2 M m2 m1 y sL O1 e1 O2 y dq n2 a1 a2 a2' n1 n2 dl dx §5-2 纯弯曲时的正应力 1.变形几何关系

  6. smin M smax smin M smax 2.物理关系(胡克定律)

  7. z(中性轴) M O x dA sdA y z y 3.静力关系 中性轴通过截面形心

  8. 4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力): ①距中性层y处的应力 ②梁的上、下边缘处,弯曲正应力取得最大值,分别为: —抗弯截面模量。

  9. 5.三种典型截面对中性轴的惯性矩 矩形截面: 实心圆截面 截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

  10. §5-3 横力弯曲时的正应力 弯曲正应力分布 弹性力学精确分析表明,当跨度 l与横截面高度 h之比 l / h > 5(细长梁)时,纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力

  11. 弯曲正应力公式适用范围: ① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp; ② 精确适用于纯弯曲梁; ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5),上述公式的误差不大,但公式中的M应为所研究截面上的弯矩,即为截面位置的函数。

  12. 3.变截面梁要综合考虑与 弯曲正应力强度条件 1.弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同,二方面都要考虑

  13. 强度校核: 截面设计: 确定梁的许可荷载: 根据强度条件可进行:

  14. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY 90kN FS M A B x x 90kN x 例5-3-1:求图示梁(1)C 截面上K点正应力;(2)C 截面上最大正应力;(3)全梁上最大正应力;(4)已知E=200GPa,C 截面的曲率半径ρ 1. 求支反力 解:

  15. (压应力) 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 C 截面惯性矩

  16. 3. 全梁最大正应力 最大弯矩

  17. 4. C 截面曲率半径ρ C 截面弯矩 C 截面惯性矩

  18. 例5-3-2:某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 ,起重量 ,跨度 ,材料的许用应力 。试选择工字钢的型号。

  19. 计算 (3)根据 解: (1)计算简图 (2)绘弯矩图 (4)选择工字钢型号 36c工字钢 (5)讨论

  20. 例5-3-3:已知16号工字钢Wz=141cm3,l=1.5m,a=1m,[]=160MPa,E=210GPa,在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片,测得C点轴向线应变 ,求F并校核梁正应力强度。 F A B C NO.16

  21. F A B C

  22. 例5-3-4:T型截面铸铁梁,截面尺寸如图, ,试校核梁的强度。

  23. z1 52 z y 解: (1)求截面形心 (2)求截面对中性轴z的惯性矩

  24. (3)作弯矩图 (4)B截面校核

  25. (3)作弯矩图 (4)B截面校核 (5)C截面要不要校核?

  26. (a) (b) 例5-3-5:图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁,该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493×104 mm4。已知图a中,b=2 m。铸铁的许用拉应力[t]=30 MPa,许用压应力[c]=90 MPa 。试求梁的许可荷载[F]。

  27. 解:最大负弯矩所在B截面处,若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st],则下边缘处最大压应力sc,max为解:最大负弯矩所在B截面处,若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到[st],则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力[sc],也就是说,就B截面而言,梁的强度由最大拉应力控制。

  28. 第四章 弯曲应力 B截面: C截面: 显然,B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。

  29. 第四章 弯曲应力 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力[st]的条件来求该梁的许可荷载[F]: 由此得F≤19200 N,亦即该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。 当然,这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的,但即使考虑自重,许可荷载也不会减少很多。

  30. 解: 讨论:我国营造法中,对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值。 由此得

  31. x dx 1 2 1' 1 FS FS e2 m m' M+dM M x z t' y y m n x e1 e1 s+ds s A n' m' dx 1' 1 2 1 m y n 1 2 dx A b t' ty 1' §5-4 弯曲切应力 一、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导:

  32. b Fs(x)+dFs(x) M(x) Fs(x) dx M(x)+d M(x) z t’ x t s1 s2 由剪应力互等 y

  33. Fs t方向:与横截面上剪力方向相同; t大小:沿截面宽度均匀分布,沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

  34. 其中Fs为截面剪力;Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩; Iz为整个截面对z轴之惯性矩;b 为y点处截面宽度。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为:

  35. 2、工字形截面梁的剪应力 翼缘 在腹板上: 腹板

  36. 在翼缘上,有平行于Fs的剪应力分量,分布情况较复杂,但数量很小,并无实际意义,可忽略不计。在翼缘上,有平行于Fs的剪应力分量,分布情况较复杂,但数量很小,并无实际意义,可忽略不计。 在翼缘上,还有垂直于Fs方向的剪应力分量,它与腹板上的剪应力比较,一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力,翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

  37. 3、圆截面梁的剪应力 下面求最大剪应力:

  38. 三、弯曲剪应力强度条件

  39. q=3.6kN/m A B L=3m Fs – + x M + x 例5-4-1:矩形(bh=120180mm2)截面木梁如图,[]=7MPa,[]=0. 9 M Pa,试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。 解:画内力图求危面内力

  40. 求最大应力并校核强度 应力之比

  41. 40 yc 10 40 10 C A B 例5-4-2:T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[s]c=100MPa,[s]t=50MPa,[t]=40MPa,yc=17.5mm,Iz=18.2×104mm4。求:1)C左侧截面E点的正应力、切应力;2)校核梁的正应力、切应力强度条件。

  42. 40 yc 10 40 C A B 1 M 10 0.25 + FS _ (kN) 0.75 0.5 _ (kN.m) + 0.25 1)求支座反力: 2)作梁的Fs和M图

  43. 该梁满足强度要求

  44. 该梁满足强度要求

  45. 例5-4-3:悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa,木材的[]=10MPa,[]=1MPa,求许可载荷。例5-4-3:悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为[胶]=0.34MPa,木材的[]=10MPa,[]=1MPa,求许可载荷。

  46. 解: 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷 3.按切应力强度条件计算许可载荷

  47. 4.按胶合面强度条件计算许可载荷 5.梁的许可载荷为

  48. §5-5 关于弯曲理论的基本假设 在导出纯弯曲正应力的计算公式时,引用了两个假设:(1)平面假设;(2)纵向纤维间无正应力假设 。假设材料仍是线弹性的,对于横力弯曲问题,按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。 可见上、下表面无切应变,中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化,可见这势必使横截面不能保持平面,而引起翘曲。

  49. 理论分析表明:当截面高度h远小于跨度l的梁,上述偏差是非常小的;而h远远小于跨度l,却正是杆件的几何特征。理论分析表明:当截面高度h远小于跨度l的梁,上述偏差是非常小的;而h远远小于跨度l,却正是杆件的几何特征。

  50. q(x) Fs+dFs Fs y s z t r s F’s+dF’s p r F’s r p y n dx 理论分析表明:h远远小于跨度l,y是可以忽略的,这正是假设纵向纤维间无正应力的根据

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