第二章 连续时间系统的时域分析

1. 第二章　连续时间系统的时域分析 • 　本章重点： • 1、系统模型的建立； • 2、求系统的零输入响应； • 3、求系统的冲激响应和阶跃响应； • 4、用卷积积分法求零状态响应。

2. §２-１ 引言 一、线性时不变系统的“时域分析”方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理（t自变量） 第三步：对所得的数学解给出物理解 释，赋予物理意义。

3. 数学模型 精确制导

5. r(t) e(t) 系统 二、连续时间系统的数学模型及模型的建立 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述： n阶常系数微分方程

6. 电系统的微分方程建立： 基本依据 ： KCL： i( t )＝0 KVL： u( t )＝0 VCR： uR( t ) = R i( t )

7. 例： • 一阶系统： 电源： VAR 电容电压： 电阻电压： KVL 一阶常系数线性微分方程

8. 例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。 解：由图列方程 KVL: KCL:

9. 将（2）式两边微分，得 将（3）代入（1）得 二阶常系数线性微分方程

10. 为方便求解微分方程，引入以下算子符号。 §2.2系统方程的算子表示法

11. 一、n阶常系数微分方程的算子表示为 若H（P）为常数，如：50

12. 二、算子符号的一般运算规则。

13. 例、由电路得到微分方程 一、微积分方程： i1(t) i2(t) 算子方程

14. 由模拟框图H(p)

15. § 2.3 系统的零输入响应分析 一、系统分析方法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 系统法

16. 二、系统响应的分解模式 • 经典法对于复杂的输入信号或较高阶系统，计算繁琐，不易求出响应。（没有物理意义） • 在近代时域分析中，采用系统法给分析和计算带来了一定的方便。 （物理意义明确） 按照系统法，全响应可按以下三种方式分解： (1)全响应=自由响应十强迫响应 (2)全响应=瞬态响应十稳态响应 (3)全响应=零输入响应十零状态响应

17. 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起 的响应，用 表示. 三、零输入响应（zero—input response） 零输入响应满足齐次方程及起始条件 D(p)y(t)=N(p)e(t) D(p)y(t)=0

18. 5 t 0 例： 输入为0 零输入响应要求： 及： 由于： 则： 设： 零输入响应

19. 高等数学 零输入响应解(齐次解）的一般形式： D(p)y(t)=N(p)e(t) 特征根 自然频率 特征方程：Ｄ（λ）=０的根： 当特征根为单根时： 当特征根为重根时：（ λ1为m阶重根） 当特征根为共轭复根：

20. 求解系统零输入响应的一般步骤： 1）求系统的自然频率； 2）写出零输入响应yx(t)的通解表达式； 3）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理求出系统的初始值 ： 4） 将初值带入yx(t)的通解表达式，求出待定系数； 5）画出yx(t)的波形。

21. 例1：已知某系统激励为零，初始值y(0+)=2， y’(0+)=1，y”(0+)=0，描述系统的传输算子为 解： 求系统的响应 y(t)。 =2 =1 零输入响应 =0 系统时域响应为

22. 2.4 信号的脉冲分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同分量。 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量

23. 信号的直流分量，即平均值 1．直流分量与交流分量 信号的平均功率 = 信号的直流功率 + 交流功率

24. 2．偶分量与奇分量 对任何实信号而言： 偶分量 奇分量 信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率

25. 3. 任意函数表示为冲激函数的积分.

26. 一.冲激响应 1.定义：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。 零状态 2.5 冲激响应和阶跃响应 impulse response and step response

27. 2、冲激响应的一般形式： t > 0时，因 特征根： 特征方程： 冲激响应的形式为：

28. 高阶系统的单位冲激响应 传输算子 特征方程： a）当n>m，且特征根均为单根时： 将H(p)展开成部分分式：

29. b）当n>m，特征根有重根时： 设重根为：p1= p2 ··· = pr 其余为单根 将H(p)展开成部分分式：

30. c）当n=m时： 先用长除法，再展开成部分分式： 此时，h(t)中含有冲激信号 d）当n<m时： 同样先用长除法，再展开成部分分式：

31. 求单位冲激响应的一般步骤 a）求传输算子H(p)； b）如果m≥n, 用长除法将H(p) 化为真分式； c） H(p)部分分式； d） 根据H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)； 例1：已知描述某系统的微分方程为 求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。 答：

32. MATLAB仿真结果：

33. 3、H(P)的其它形式

34. 例：求系统单位冲激响应h(t)，已知描述系统的传输算子分别为例：求系统单位冲激响应h(t)，已知描述系统的传输算子分别为 解：

35. 4、工程应用实例 • 电子电路工作时，往往在有用信号之外，还存在一些令人头痛的干扰信号。如何克服这些干扰是电子电路在设计、制造时的主要问题之一，克服这些干扰的方法多种多样，但很难完全克服。

36. 信号消噪实例

37. 指纹图象的消噪

38. 设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑制这些干扰信号呢？设在电子测量中，测得信号波形，其中包括两部分：慢波动的有用信号和快速波动的干扰信号。如何消除或抑制这些干扰信号呢？ 消噪电路工程应用实例

39. 解决办法:设计一个系统.

40. 选取合适的电路参数,得: 信号通过系统:

41. 二、阶跃响应： 1、定义： Step response is a zero state response of a fixed ,linear system to a unit step function applied at time t=0. 阶跃响应是系统对单位阶跃信号输入时的零状态响应。 阶跃响应记作g(t)。

42. 2、阶跃响应和冲激响应的关系： • 3、阶跃响应的求法： • 1）经典法； • 2）从冲激响应求阶跃响应。

43. 例、某雷达天线伺服控制系统中，天线转角阶跃响应为：例、某雷达天线伺服控制系统中，天线转角阶跃响应为：

44. ２.6卷 积(The Convolution Integral） 一、定义： 二、卷积积分的计算 1．利用定义计算 2. 利用卷积的性质计算 1） 3. 利用卷积积分表计算 2） （折叠） （平移） 4. 利用图解法计算 3） （相乘） 4） （积分） 5）

45. LTI ( t ) h( t ) （定义） （可加性）  三、卷积的意义： h( t )  f( t ) 零状态响应 = 输入信号  冲激响应 过程： ( t   ) h( t   ) （时不变性） f( )( t   ) f( )h( t   ) （齐次性） f( t ) ( t ) f( t ) h( t ) f( t ) y( t )

46. 例、（定义式法）求 解 设1 = 1， 2 = 3，则

47. 例、图解法求卷积。

48. 当t<-1 当-1<t<1 当1<t<2

49. 当2<t<4 当t>4

50. 例：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中 当t<0： 解： 当0<t<7： 当7<t： 或