第五章 大数定 律 及中心极限定理

1. 第五章 大数定律及中心极限定理 • 5.1 大数定律 • 5.2 中心极限定理

2. 第五章 大数定律及中心极限定理 内容提要 大数定律：伯努利大数定律 切比雪夫大数定律(特殊情况) 辛钦大数定律 中心极限定理： 独立同分布的中心极限定理 德莫拂－拉普拉斯中心极限定理 基本要求 理解三大数定律成立的条件与结论。(重点, 难点) 理解中心极限定理的应用条件和结论。 (重点, 难点) 能够使用相关定理近似计算有关事件概率。(重点, 难点)

3. 我们常说事件A在多次重复试验中发生的频率 ，当试 验次数n增大时，逐渐稳定于某个常数，此处 ? 不对！若　　　　　　成立。 5.1 大数定律 一. 客观背景 • 大量抛掷硬币正面出现的频率 • 生产过程中废品的废品率 • 字母使用的频率 大量的随机现象中平均结果具有稳定性, 这种稳定性即 为大数定律的客观背景。

4. 即对于 ,总存在 ,当 时,有 　　　　　成立。 即无论 多大,在 以后,总可能存在 ,使 所以 不可能在通常意义下收敛于p。 定义1设 是一个随机变量序列, a 是一个常数, 若对于 ,有 则称序列 依概率收敛于 a , 记为 但若取 , 由于 二. 伯努利大数定律 1. 依概率收敛

5. 定理1设n A是n次独立试验中事件A发生的次数, p 是事件A在 每次试验中发生的概率,则对于任意正数 有 或 设 , 在点(a , b)连续, 则 说明: , 即对于 ,当n充分大时, “Yn 与 a 的偏 差大于 ”这一事件发生的概率很小,几乎不可能发生 (收敛于0) 2. 依概率收敛的序列的性质 3. 伯努利大数定律

6. 对 ,由切比雪夫不等式得 证明： 由于 ,故 于是 即:

7. 则 于是 说明：(1) 伯努利大数定律表明事件发生的频率 依概率收敛 于事件的概率p,即当n很大时,事件发生的频率与其概率 较 大偏差的可能性小。 (2) 在实际应用中, 当试验次数n很大时, 可用频率代替概率。

8. 　　一般地, 若随机变量序列 的数学期望都 存在,且满足(4)式,则称随机变量序列 满足大数定律。 定理2设随机变量序列 相互独立且具有相 同的数学期望和方差: 作前n个随机变量的算术平均 ,则对于任意 有 三. 切比雪夫大数定律的特殊情况

9. 说明: (5) 式表明当 时, 随机变量 的算术平均 定理3设随机变量 相互独立, 服从同一分布, 具有数学期望 ,则对于任意 有 例1. 设 为独立同布随机变量序列, 均服从参 数为 的泊松分布,求证算术平均 。 四. 辛钦大数定律 说明: 伯努利大数定理是辛钦大数定理的特殊情况。

10. 证明：因为 , 所以 由切比雪夫大数定理得: 所以 例2 设 是独立同分布的随机变量, 其分布函 数为 ,问是否适用辛钦 大数定理？ 解: 辛钦大数定律成立的条件是 独立同分布, 随机变量的数学期望存在。

11. 而 故辛钦大数定律不适用。

12. 　　设随机变量 相同独立, 服从同一分布, 且 具有数学期望和方差: 则随机变量之和的标准化变量 5.2 中心极限定理 定理1. ( 独立同分布的中心极限定理 )

13. 说明：独立同分布的随机变量 之和 的标 准化变量, 当n充分大时,近似服从标准正态分布, 即： 的分布函数 定理2 （德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）

14. 例1 已知一本380页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分 布 ,求这本书的印刷错误总数不多于60个的概率。 解: 以Xi表示第i页印刷错误的个数, 则总印刷错误 　　设随机变量　 服从参数为 的二项分布，则对于任意x有 说明: 正态分布是二项分布的极限分布； 当n充分大时可用(3)式计算二项分布的概率。

15. 且 相互独立。 由题 则 则 例2 在次品率为1/6的大批产品中,任意抽取300件产品, 利 用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在(40, 60) 的概率。

16. 解： 设X表示抽到的次品的总件数, 则 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理得

17. 第五章 小结 1. 大数定律为实际推断原理(小概率原理)作了理论支撑。 • 中心极限定理表明, 在一般条件下, 当独立随机变量的 • 个数增加时, 其和的分布趋于正态分布。 思考: 大数定律和中心极限定理之间的关系？ 答: 大数定律是研究随机变量序列{X n}依概率收敛的极限问题； 中心极限定理是研究随机变量序列{X n}依分布收敛的极限 定理。 它们都是讨论大量的随机变量之和的极限行为。

18. 设随机变量X和Y的数学期望均为2, 方差分别是1和4, 相 • 关系数为0.5, 根据契比雪夫不等式 。 3. 设随机变量序列 服从泊松分布,且相互 独立,参数为 ,则 。 • 将一枚硬币连续投掷100次, 出现正面的次数大于60的概 • 率 。 第五章 测试题A 一． 填空选择题。

19. 4. 设随机变量 相互独立, 且服从参数为 的泊松分布,则下面随机变量序列中不满足契比雪夫 大数定理条件的是。 (A) (B) (C) (D) • 设随机变量X的分布律为 • 试求 2. 将编号为1～n的n个球放入编号为1～n的n个盒子内, 且每 个盒子只能放1个球, 记X为球号与盒号相一致的个数, 证明: 二. 计算。

20. 一．填空，选择。 1. 11/72 2. 0.023 3. 4. C 答案: 二．计算。 1. 0.8788 2. 证明略

21. 设随机变量X的数学期望 ,方差 ,则 • 由契比雪夫不等式有 。 3. 设随机变量 , 从X中抽取容量为n的样本,其均 值为 ,至少取 才能使样本均值 与总体均值 之差 的绝对值小于0.1的概率不小于95%.。 2. 设随机变量 相互独立同分布, 且 则 。 第五章 测试题B 一. 填空选择题。

22. 设随机变量X的方差存在, 且满足不等式 • ,则一定有。 • (A) (B) • (C) (D) • 已知Xi的概率密度为 ,并且它 • 们相互独立, 则对任意X概率 。 (A)无法计算 (B) (C)可以用中心极限定理计算出近似值 (D)不能用中心极限定理计算出近似值

23. 二. 计算题。 • 某高校图书馆阅览室共880个座位, 该校共12000名学生, • 已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为8%。 求: (1) 阅览室晚上座位不够用的概率 (2) 若要以80%的概率保证晚上去阅览室自习的学生 都 有座位, 阅览室还需增添多少个座位? 2. 有一批钢材, 其中80%的长度不小于3m, 现从钢材中随机 抽出100根, 试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30根 的概率。

24. 答案: • 填空选择。 • 1. 3/4 • 2. 0.977 • 3. 1537 • 4. B • 5. D 二. 计算题。 1. (1) 0.9964 (2) 105 2. 0.9938