第 4 章 数组和广义表

1. 第4章 数组和广义表

2. 4.1 多维数组 • 4.1.1 数组定义 • 数组是数据结构的基本结构形式，它是一种顺序式的结构，数组是存储同一类型数据的数据结构，使用数组时需要定义数组的大小和存储数据的数据类型，数组分为一维数组和多维数组。数组的维数是由数组的下标的个数确定的，一个下标称为一维数组，一个下标以上的数组称为多维数组。从这个意义上讲，确定了对于数组的一个下标总有一个相应的数值与之对应的关系；或者说数组是有限个同类型数据元素组成的序列。 • 数组的基本操作包括： • initarray（&A）； //初始化数组 • destroyarray（&A）； //销毁数组 • assign（&A，e）； //数组赋值 • value（A，&e）； //取数组的某个元素 • copyarray（M，&T）； //复制一个数组 • printarray（M）； //打印数组的元素

3. 4.1 多维数组 • 4.1.1 数组定义 • 一维数组 • 一维数组是指下标的个数只有一个的数组，有时称为向量，是最基本的数据类型，在java 中需要事先声名，程序才能够在编译过程中预留内存空间。声明的格式一般是： • <数据类型> <变量名称> [ ]= new <数据类型> [<数组大小>]；

4. 4.1 多维数组 • 4.1.1 数组定义 • 多维数组 • 多维数组是指下标的个数有两个以上，我们比较常用的是二维数组（因为三维以上的数组存储可以简化为二维数组的存储）。下面以二维数组为例说明多维数组。二维数组的声明同一维数组。格式为： • <数据类型> <数组名称> [ ] [ ]=new <数据类型>[size1] [ size2];

5. 4.1 多维数组 • 4.1.2 数组的存储 • 一维数组的存储 • 一维数组的数据存储按照顺序存储，逻辑地址和物理地址都是连续的。如果已知第一个数据元素的地址loc(a1)，则第i个元素的地址loc(ai)为： • loc(ai)=loc(a1)+（i-1）*c • 假设数组的下标从1开始，只要求出第i个元素之前存放了多少个数据元素即可（实际上有i-1个元素），每个元素占有c个存储单元，再乘以c，就是第i个元素的起始地址。 • 如果下标从0开始，则第i个元素之前就有i个元素，此时上面的公式就变为： • loc(ai)=loc(a1)+ i*c • 由此可见，求数组中数据元素的地址，已知条件必须是知道第一个元素的地址，然后主要是找出该元素之前已经存储了多少个数据元素。在一维数组中，只要知道任何一个元素的地址即可求出其它元素的地址，但在多维数组中，已知条件必须是第一个数据元素地址。

6. 4.1 多维数组 • 4.1.2 数组的存储 • 多维数组 • 以二维数组的顺序存储为例说明，二维数组在顺序存储时一般有两种： • 行优先顺序：存储时先按行从小到大的顺序存储，在每一行中按列号从小到大存储。 • 列优先顺序：存储时先按列从小到大的顺序存储，在每一列中按行号从小到大存储。 • 以上的两种存储顺序中，第一个被存放的元素总是第一行第一列的数据元素，所以该元素的地址是我们的已知条件。 • 同样在二维数组中比较典型的是计算数据的存储位置。

7. 4.1 多维数组 • 4.1.2 数组的存储 • 多维数组 • 假设二维数组是m*n的二维数组（共有m行，每行有n列）。第一个数据元素的地址是loc(a11)，则第i行第j列的数据元素的地址的计算公式应为（按照行优先顺序存储）： • loc(aij)=loc(a11)+[（i-1）*n+j-1]*c • 假设下标从1开始，我们需要计算出i行前面已经存储了i-1行元素，每行有n个元素，共有（i-1）*n个数据元素，在第i行元素中，j列之前有j-1个数据元素，共有（i-1）*n+j-1个元素，每个元素占有c个存储单元，只要乘以c就可以了。其中loc(aij)表示第i 行第j列数据元素的内存的起始位置，loc(a11)表示第一个数据元素的内存位置，c表示每个数据元素所占有的内存空间的大小，如果下标从0开始，只要不用减1即可。

8. 4.1 多维数组 • 4.1.2 数组的存储 • 多维数组 • 如果按列优先顺序存储，则地址的计算为： • loc(aij)=loc(a11)+[（j-1）*m+i-1]*c • 假设下标从1开始，其中loc(aij)表示第i 行第j列的数据元素的内存起始位置，loc(a11)表示第一个数据元素的内存位置，c表示每个数据元素所占有的内存空间的大小；主要还是计算第i行j列元素之前有多少个数据元素。如果下标从0开始，只要不用减1即可。 • 按此公式可以推广到多维数组的数据元素的地址计算（假设按照行优先顺序存储）： • m行n 列纵标为k的三维数组，假设第一个元素的地址是loc(a111)，如果按行优先顺序存储，i行j列纵标为p的数据元素的地址为（可以将它分解为二维数组）： • loc(aijp)=loc(a111)+[(i-1)*n*k+(j-1)*k +p-1]*c; • 如果下标从0开始，只要不用减1即可。 • 读者可以从以上的地址公式中可以找出一定的地址计算规律：多维数组中按行优先计算公式用一个下标乘以后面的最大值。

9. 4.1 多维数组 • 4.1.3 显示二维数组的内容 • 一般情况下，只要定义了数组的存储顺序，数组的存储顺序就不会改变了，所以对数组的各种操作后，应按照数组的已定义的存储顺序存储；也就是说，如果是按行优先顺序存储，在对数组操作后，即使改变了存储顺序，应加以改变仍然按照行优先顺序存储。

10. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 所谓矩阵的压缩存储，也就是在存储数组时，尽量减少存储空间，但是数组中的每个元素必须存储，所以在矩阵存储中，如果有规律可寻，只要存储其中一部分，而另一部分的存储地址可以通过相应的算法将它计算出来，从而占有比较少的存储空间达到存储整个矩阵的目的，称为矩阵的压缩存储。 • 矩阵的压缩存储仅是针对特殊矩阵的；而对于没有规律可循的二维数组则不能够使用压缩存储。 • 二维数组（矩阵）的压缩存储一般有三种，它们分别是对称矩阵、稀疏矩阵和三角矩阵。三种矩阵中以稀疏矩阵比较常见。

11. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 特殊矩阵 • 若n 阶矩阵A中的元素满足以下条件： • aij=aji i≥1，j≥1 • 则称为n阶对称矩阵。 • 对于对称矩阵，如果不采用压缩存储，占有的存储单元有n2个，因为是对称矩阵，所以只要存储对角的数据元素和一半的数据元素即可，占有的存储单元有n（n-1）/2个存储单元中。如果我们以行序为主序存储其下三角（包括对角线）的元素，其上三角的元素可以推算出来。

12. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 特殊矩阵 • 如果用一维数组存储一个对称矩阵，只要将对称矩阵存储在一个最大下标为n（n-1）/2的一维数组S中即可。此时按照行优先顺序存储，数据元素aij与数组S的下标k的对应关系为： i(i-1)/2 +j-1 当i≥j时 k= j(j-1)/2 + i-1 当i＜j时

13. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 特殊矩阵 • 对于任意给定的一组下标（i，j），均可在S中找到元素aij，反之，对所有元素都能够确定在S中位置，当i＜j时，根据对称矩阵的性质推算即可。由此可以看出对称矩阵的存储可以使用一维数组S存储，占用的空间不再是n2，而是n（n-1）/2空间减少了接近一半，实现了二维数组的压缩存储。 • 所谓对角矩阵是指，矩阵的所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线上和直接在主对角线上、下方若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。

14. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 特殊矩阵 • 也可以按照某个原则（或者以行序为主序，或者以列序为主序，或者按对角线的顺序）将对角矩阵B的所有非零元素压缩存储到一个一维数组LTB[1…3n-2]中。这里不妨仍然以行序为主序的原则对B进行压缩存储，当B中任一非零元素bij与LTB[k]之间存在着如下一一对应关系： • k=2*i+j-2 • 时，则有bij=LTB[k]。称LTB[1…3n-2]为对角矩阵B的压缩存储。 • 上面讨论的几种特殊矩阵中，非零元素的分布都具有明显的规律，因而都可以被压缩存储到一个一维数组中，并能够确定这些矩阵的每个非零元素在一维数组中的存储位置。但是，对于那些非零元素在矩阵中的分布没有规律的特殊矩阵(如稀疏矩阵)，则需要寻求其他方法来解决压缩存储问题。

15. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 稀疏矩阵 • 对稀疏矩阵很难下一个确切的定义，它只是一个凭人们的直觉来理解的概念。一般认为，一个较大的矩阵中，零元素的个数相对于整个矩阵元素的总个数所占比例较大时，该矩阵就是一个稀疏矩阵。例如，有一个6×6阶的矩阵A，其36个元素中只有8个非零元素，那么，可以称矩阵A为稀疏矩阵。 • 稀疏矩阵一般是指矩阵中的大部分元素为零，仅有少量元素非零的矩阵称为稀疏矩阵；或者说矩阵A（m × n）中有S个非零元素，如果S远远小于矩阵的元素总数，称A为稀疏矩阵。稀疏矩阵的存储一般只要保存非零元素即可，对于零元素可以不与保存，这样可以实现稀疏矩阵的压缩存储。

16. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 稀疏矩阵 • 稀疏矩阵的压缩存储采用三元组的方法实现。其存储规则如下： • 每一个非零元素占有一行，每行中包含非零元素所在的行号、列号、非零元素的数值。为完整描述稀疏矩阵，一般在第一行描述矩阵的行数、列数和非零元素的个数。其逻辑描述为： • （row col value） • 其中row表示行号，col表示列号，value表示非零元素的值。 • 如果每个非零元素按照此种方法存储，虽然能够完整地描述非零元素，但如果矩阵中有整行（或整列）中没有非零元素，此时可能不能够还原成原来的矩阵，所以为了完整地描述稀疏矩阵，在以上描述的情况下，如果增加一行的内容，该行包括矩阵的总的行数、矩阵的总的列数，矩阵中非零元素的个数，就可以还原为原来的矩阵描述了。

17. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.1 矩阵的压缩存储 • 稀疏矩阵 • 归纳起来，若一个稀疏矩阵有t个非零元素，则需要用t+1行的三元组来表示稀疏矩阵。到底矩阵何时使用三元组存储呢？一般对m×n的矩阵来说，只要满足（t+1）*3≤m*n这个条件，使用三元组存储可以节省空间，否则更加浪费空间，也就没有必要使用三元组存储，所以稀疏矩阵中的非零元素的个数t是能否使用三元组存储的关键。

18. 4.2 矩阵的压缩存储 • 4.2.2 稀疏矩阵转换为三元组存储 • 首先应该将稀疏矩阵转换为三元组存储，然后才利用三元组的存储，实现对矩阵的各种运算。 • 对于矩阵的运算一般有矩阵的转置，在转置时值得注意的是：在矩阵的存储规则已经确定的情况下（如按行优先存储），实现矩阵的运算（如转置）时，应仍然保留原来的存储规则。 • 改进的转置方法可以利用对原始的三元组的元素的扫描，直接确定该元素在转置后的三元组中的行，这样可以将原始三元组中的元素直接放在转置后的三元组中即可。这种方法需要增加两个一维数组的结构开销，称为快速转置。

19. 4.3 广义表 • 4.3.1 广义表的定义 • 广义表是线性表的扩展，具体定义为n（n≥0）个元素的有限集合。其中元素有以下两种类型： • 1）一个原子元素（指不可再分的元素）； • 2）一个可以再分的元素（或称为一个子表）。 • 如果所有元素都是原子元素，则称为线性表，如果含有子表则是广义表。

20. 4.3 广义表 • 4.3.1 广义表的定义 • 广义表的基本操作： • initGlist(&L) //创建空的广义表 • creatGlist(&L,S) //由S创建广义表L • destroyGlist(&L) //销毁广义表L • Glistlength（L） //求广义表的长度 • Glistdepth（L） //求广义表的深度 • Gethead(L) //求广义表L的头 • Gettail(L) //求广义表的表尾 • Insertfirst_Glist(&L,e) //插入元素e作为广义表L的第一个元素 • Deletefirst_Glist(&L,&e) //删除广义表L的第一个元素，并用e返回其值

21. 4.3 广义表 • 4.3.1 广义表的定义 • 广义表一般记作： • LS=（a1，a2， …，an） • 其中LS是广义表的名称，n是广义表的长度。 • 常见的广义表为： • A=（） • B=（（）） • C=（a,b） • D=（A，B，C） • E=（a,E） • 广义表中含有元素的个数称为广义表的长度，广义表中含有的括号对数称为广义表的深度。

22. 4.3 广义表 • 4.3.1 广义表的定义 • 三个重要结论： • 列表的元素可以是子表，而子表的元素还可以是子表…。由此，列表是一个多层次的结构，可以用图形象地表示。例如图4-1表示的是列表D。图中以圆圈表示列表，以方块表示原子元素。 • 列表可为其它列表所共享。例如在上述例子中，列表A、B和C为D的子表，则在D中可以不必列出子表的值，而是通过子表的名称来引用。 • 列表可以是一个递归的表，即列表也可以是其本身的一个子表。例如列表E就是一个递归的表。

23. 4.3 广义表 • 4.3.2 广义表的存储 • 广义表的存储方法有很多种，一般采用链表存储。采用链表存储时的结点存储的逻辑结构（如图所示）一般是： • 其中flag表示标志位，当flag为0时，该结点表示原子元素，当flag为1时，该结点表示子表；当flag为0时，info表示原子元素的值，当flag为1时，info表示指针，指向该子表的第一个结点；link表示指针，指向广义表的下一个元素。