第六章定积分的应用

第六章定积分的应用 基本要求 1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)

§6.1 定积分的元素法 一元素法(微元法)的基本思想如图:曲边梯形AabB的面积为定积分 y y=ƒ(x) B 而这个积分的被积 A 表达式ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上的任意小区间[ x, x + ∆x] 上的窄曲边梯形 D H F E o x a x DEFH面积ΔA的近似值, 而 b x+Δx

y y=ƒ(x) B ∆A=ƒ(x)dx+o(dx). 当∆x = dx→0时, A D H 根据微分的定义有ƒ(x)dx=dA.即 E F o x a x b x+Δx 求曲边梯形AabB的面积A的方法为: (1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A的微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元)) (2) 以微分表达式ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加) 即可．

用定积分来计算的量U具有以下特点： • 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有关．若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)． • 量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部分区间，则 U相应地被分成了许多部分量之和． • 在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上，部分量ΔU≈f (x)Δx．

二定积分的元素法 设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U= 应用方向：　平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，水压力等．

第六章 定积分的应用