Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren

Kapitel 21Mehrgleichungs-Modelle:Schätzverfahren

Multivariate Regression Allgemeinste Form: SUR-Modell yi = Xibi + ui, i = 1, …, m mit n-Vektoren yi und ui, (nxki)-Matrix Xi; der m-Vektor ut = (ut1,…, utm) hat die Kovarianzmatrix Gleichungsweises Schätzen: bi = (Xi‘Xi)-1Xi‘yi berücksichtigt nicht die kontemporäre Korrelation der Störgrößen

Multivariate Regression, Forts. In Matrixnotation mit mn-Vektoren ỹ und ũ etc. lautet das SUR-Modell oder mit

GLS-Schätzer für aus SUR-Modell Standardfehler erhält man aus Effizienzgewinn der GLS-Schätzung umso größer, • je stärker die Störgrößen korrelieren • je weniger die Regressoren korrelieren GLS-Schätzer stimmt mit bi überein, wenn • Xi = X für alle i • uti mit übrigen utj, j ≠ i, unkorreliert ist

FGLS-Schätzer Zwei-stufiges Verfahren: • Schätzung der Einzelgleichungen, dann Schätzen von S aus den Residuen der Einzelgleichungen • GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix S In EViews: Modellierung als System

Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = b1 + b2F + b3C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954 General Motors: I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78 Chrysler: I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28 General Electric: I = -9.96 + 0.027*F + 0.512*C, R2 = 0.71, se = 27.88

Investitionsmodell, Forts. General Motors: IFGLS = -133.57 + 0.115*F + 0.376*C, R2 = 0.92, se = 91.86 IOLS = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78 Chrysler: IFGLS = -3.27 + 0.073*F + 0.320*C, R2 = 0.91, se = 13.31 IOLS = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28 General Electric: IFGLS = -11.96 + 0.028*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.89 IOLS = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88

Bestimmtheitsmaß Definition mit ẽ: Residuen aus FGLS-Schätzung Syy: Matrix der Stichproben-Kovarianzen Alternatives Bestimmtheitsmaß:

Investitionsmodell, Forts. Berechnen des Bestimmtheitsmaßes • Generieren der Gruppe Gr1 der Residuen aus Sys_3: Sys_3.makeresids liste_residuen • Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3: matrix sig_tilde = @cov(@convert(Gr1)) • Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (Syy)

Simultane Mehrgleichungs-Modelle: Schätzverfahren • Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter Information (limited information methods) • Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS) • Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS) • ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML) • Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden) • Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS) • ML-Schätzung bei voller Information (FIML)

Marktmodell Gesucht ist ein Schätzer für b2 aus Q = a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion) Q = b2P + u2 (Angebotsfunktion) wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind • OLS-Schätzung von b2 aus Angebotsfunktion: b2 = (p‘p)-1p‘q mit n-Vektoren p und q; b2 ist verzerrt! • IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y: = (y‘p)-1y‘q; konsistent • ILS-Schätzer: = p2/p1 = (y‘p)-1y‘q mit OLS-Schätzern p1 und p2 von p1 und p2 aus der reduzierten Form P = p1Y + v1 Q = p2Y + v2

Marktmodell, Forts. • 2SLS-Schätzung: 1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen = [(y‘y)-1y‘p] y 2. Stufe: OLS-Schätzung von b2 aus Q = b2 + e2:

OLS-Schätzung OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells: im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent OLS-Schätzer sind oft eine brauchbare Alternative: • Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein • Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte Voraussetzungen als andere Verfahren OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum Schätzen der Parameter von simultanen Mehrgleichungs-Modellen Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n weitgehend unverzerrt sein

Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung Erfolgt In zwei Schritten: • OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form • Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt werden, muss identifizierbar sein

2SLS-Schätzung Die Koeffizienten der i-ten Gleichung yi = Xibi + ui = Yiai + Zigi + ui sollen geschätzt werden; Yi: (nx(mi-1))-Matrix der endogenen Variablen, Zi:(nxKi)-Matrix der vorherbestimmten Variablen 2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten: • Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷi mit Hilfe der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form Yi = Z (P')i + Vi • Berechnen der Schätzer durch OLS-Anpassung von yi = bi + ui mit = (ŶiZi)

Markt für Schweinefleisch Q = a1 + a2P + a3Y + u1 (Nachfragefunktion) Q = b1 + b2P + b3Z + u2 (Angebotsfunktion) Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z 2SLS-Schätzung: • Stufe: = 11.2 + 0.008Y + 0.728Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R2=0.89] = 16.1 + 0.046Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R2=0.73] • Stufe: = 60.9 – 3.088P + 0.149Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R2=0.89] = 8.32 + 0.177P + 0.770Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R2=0.89]

Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung

2SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist: Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen, vorherbestimmten Variablen (K-Ki) ist mindestens so groß wie die um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (mi-1) Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden, vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu ersetzen sind Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind • konsistent • asymptotisch normalverteilt

LIML-Schätzung ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder LIML-Schätzung) Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung weitgehend verdrängt Ähnliche Eigenschaften: • Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient • Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein, wenn die Gleichung exakt identifiziert ist

Schätzer bei voller Information Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der Störgrößen Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den Parametern dieser Gleichung enthalten ist 3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLS-Schätzung; vergleiche die SUR-Schätzer

3SLS-Schätzung Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als oder mit

3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten: • Berechnen für jede Gleichung • Hilfsvariable • 2SLS-Schätzer und • 2SLS-Residuen • Berechnen von mit • Ermitteln der 3SLS-Schätzer als FGLS-Schätzer für

3SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind • konsistent • asymptotisch normalverteilt 3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn • Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind • S diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind

Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind konsistente Schätzer Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLS-Schätzer hin

Weitere Schätzer bei voller Information • Iterative 3SLS-Schätzung Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe) • FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A und G • FIML-Schätzer sind • konsistent • asymptotisch normalverteilt • asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern • In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer

Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren