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第一章 多项式

第一章 多项式. §1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解定理 §6 重因式 §7 多项式函数 §8 复系数与实系数多项式的因式分解 §9 有理系数多项式. §1 数 域. 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复数。

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第一章 多项式

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  1. 第一章 多项式 §1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解定理 §6 重因式 §7 多项式函数 §8 复系数与实系数多项式的因式分解 §9 有理系数多项式

  2. §1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。 数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质称为代数性质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质，引入：

  3. 定义一设 P是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。 有理数、实数、复数为数域，记为Q(rational number)、R（real number)、C(complex number)。 例1 所有具有形式 的数（a,b是任意有理数），构成一个数域。 通常用 来表示这个数域。

  4. 证明 显然 包含0和1并且对于加减法是封闭的。现在证明它对乘除法也是封闭的。 设 于是 也不为零，而

  5. 由上两式可以得出 乘、除法也是封闭的。 例2所有可以表成形式 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数， 是整数。

  6. 例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减不是封闭的。 • 的整倍数的全体构成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。

  7. 重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定义，1+1=2，2+1=3，…，n+1=n+1,…全属于P ，再由 P 对减法的封闭性，o-n=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。任何一个有理数可以表成两个整数的商，由P 对除法的封闭性即得上述结论。 返回

  8. §2 一元多项式 • 一元多项式的定义 • 基本运算及其规律

  9. 基本定义 给定数域 P，x是一个符号。 定义2设n是一个非负整数。形式表达式 （1） 其中 全属于数域 P， 称为系数在数域P 中的一元多项式，或者 简称为数域P上的一元多项式。

  10. 称为i 次项, • 称为i次项的系数 • 多项式用 或 来表示。 注：x 代表未知量或符号（如矩阵）。

  11. 定义3如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为定义3如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为 f(x)=g(x)。 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0 称为（1）的首项； ：首项系数； n为（1）的次数，记为 。 零多项式不定义次数。

  12. 运算： 加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令 ， 对于加减法：

  13. 乘积

  14. 对于乘法：如果 那么 ，且 数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得的结果仍是数域P上的多项式

  15. 运算规律： 1、加法交换律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2、加法结合律： (f+g)+h=f+(g+h) 3、乘法交换律： f(x)g(x)=g(x)f(x)

  16. 4、乘法结合律 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x)) 事实上：

  17. 左边，f(x)g(x)中s次项的系数为 因此左边t次项的系数为

  18. 右边，g(x)h(x)中r次项的系数为 因此右边t次项的系数为 左边=右边。

  19. 5、乘法对加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X) 6、乘法消去律：f(x)g(x)=f(x)h(x),且 ,那么 g(x)=h(X) 定义4所有系数在数域P中的多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x], P称为P[x]的系数域 BACK

  20. §3 整除的概念 以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。 带余除法 整除 整除的性质

  21. 带余除法 对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中 ，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x)　　　　　（１） 成立，其中　　　　　　　或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一的。 证明　用归纳法来叙述 　　　如果f(x)=0,取q(x)=r(x)=0即可。 　　　以下设　　　　。令f(x),g(x)的次数分别为n,m。对f(x)的次数n作第二数学归纳法

  22. 当n<m时，显然取q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式成立。 　　当n≥m时，假设当f(x)的次数小于n时，q(x),r(X)的存在已证。现看次数为n的情形。　令 分别为f(X),g(X)的首项，显然 　　　　　　 与f(x)有相同的首项，因而 的次数小于n或者为０。对于后者，取 　　　　　　　　　 ；对于前者，由归纳法假设，对　　　　有　　　　　存在使

  23. 其中　　　　　　　 或者　　　　 。于是 即有　　　　　　　　　　　　　　　　使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。由归纳法定理，对任意的 　　　　　　　　　　　的存在性就证明了。

  24. 唯一性：设另有多项式　　　　　使 其中　　　　　　　　　　 或者　　　　 于是 即 如果　　　　　　而　　　　　所以

  25. 因此有 但是 矛盾。这就证明了　　　　　　　　　　 q(x)称为g(x)除f(x)的商，r(x)为余式

  26. 例题 | | |_____________ | | | |_____________ |

  27. 定义５数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使得定义５数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。 “g(x)|f(x)”表示整除， g(x)称为f(x)的因式， f(x)称为g(x)的倍式； g(x) f(x)表示不能整除。

  28. 定理１对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(X)，定理１对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(X)， 其中　　 的充分必要条件是g(x)除f(x) 的余式为零。 注：带余除法中g(x)必须不为零。但g(x)|f(x)中， g(x) 可以为 0。这时 当 g(x) 不等于 0时，有时用 表示 f(x) 被 g(x) 整除

  29. 结论: (1) f(x)|f(x) (2) f(x)|0 (3) a|f(x)(a 不等于0）

  30. 性质１、f(x)|g(x), g(x)|f(x), 则f(x)=cg(x).其中c为非零常数。 事实上：由g(x)|f(x),　有f(x)=h(x) g(x) 由f(x)|g(x)，有g(x)=t(x) f(x),所以 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若f(x)=0,则g(X)=0,成立；若f(x)0, 由上式有　h(x)t(x)=1 从而　　 所以h(X)为非零常数。

  31. 性质2、f(x)|g(x), g(x)|h(x), 则 f(x)|h(x).

  32. 性质3那么 注：1、f(x)与cf(x) (c0)有相同的因式、倍式。 2、两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变。 BACK

  33. §4 最大公因式 两个多项式的最大公因式 两个多项式的最大公因式求法 两个多项式互素 互素多项式的性质 多个多项式的情况

  34. 最大公因式 如果 既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么就称 为f(x)和g(x)的公因式。 定义6设f(x),g(x)是P[x]中的两个多项式。P[x]中的 多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式，如果它满足下列两个条件： （1）d(x)是f(x),g(x)的公因式； （2） f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。

  35. 如：f(x)是f(x)，0的最大公因式。 两个零多项式的最大公因式是0。

  36. 最大公因式的求法 结论：如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （1） 成立，那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式。 事实上：如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（1），p(x)|f(x). 反过来，如果p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x) 由此可见，如果g(x),r(x)有一个最大 公因式d(x)，那么d(x)也是f(x),g(x)的一个 最大公因式。

  37. 定理2对于P[x]中任意两个多项式 f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个线性组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 证明如果f(x),g(x)有一个为零，譬如说，g(x)=0,那么f(x)就是一个最大公因式，且 f(x)=1×f(x) +1 ×0

  38. 下面看一般情形。无妨设g(x) ≠0. 按带余除法有：

  39. 其中

  40. 根据前面的结论， 是 与 的一个最大公因式； 同样的理由，逐步推上去， 就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 这就是定理中的（2）式。 ------辗转相除法

  41. 由上面的倒数第二等式，我们有 再由倒数第三式，将 带入上式， 消去 用同样的方法,逐个消去 再合并得到 ------辗转相除法

  42. 如果 都是f(x)与g(x)的两个最大公因式，那么一定有 与 ,也就是 ,c≠0.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数的情况下是唯一确定的。用 (f(x),g(x)) 表示两个非零多项式首项系数是1的哪个最大公因式。 例 （15）看书。

  43. 定义7P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素（质）的，如果(f(x),g(x))=1。定义7P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素（质）的，如果(f(x),g(x))=1。 两个多项式互素当且仅当除零次多项式外没有其它公因式。 互素多项式

  44. 定理3P[x]中两个多项式互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使定理3P[x]中两个多项式互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 证明必要性是定理2的直接推论。现在设有u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。于是d(x)|f(x),d(x)|g(x)从而d(x)|1,即(f(x),g(x))=1。

  45. 互素多项式的性质 定理4如果(f(x),g(x))=1。且f(x)|g(x)h(x),那么 f(x)|h(x)。 证明由(f(x),g(x))=1可知，有u(x),v(x)使 u(x)f(x) +v(x)g(x) =1 等式两边乘h(x)，得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因为f(x)|g(x)h(x),所以f(x)整除等式左端，从而 f(x)|h(x)。

  46. 推论如果 ,且 , 那么 。 证明由 有 因为 ,且 ,所以定理4有 , 即 带入上式得 即

  47. d(x)称为 (s>=2)的一个最大公因式，如果d(x)满足下面的性质： （1） ; (2) 如果 ,那么p(x)|d(x)。 用 来表示首项系数为1的最大公因式。且 多个多项式的情况

  48. 如果 ,称 为互素的 注意 与 两两互素的关系 BACK

  49. §5 因式分解定理 不可约多项式 因式分解定理 标准分解式

  50. 不可约多项式 因式分解因系数域的不同而不同。如在有理数域上 在数域 上 在复数域上 由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切涵义。下面我们讨论数域P上的多项式环P[x]中多项式的因式分解。

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