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11.3 空间图形的基本关系与公理

11.3 空间图形的基本关系与公理. 1. 平面 : 平面是空间重要的元素 , 它是一个抽象的概念。 平面的两个特征： ①无限延展； ②平的（没有厚度）。 平面的画法：通常画 平行四边形 来表示平面。平面的表：用一个小写的希腊字母. 、. 、. 等表示，如平面. 、平面. 或用表示平行四边形的 两个相对顶点 的字母表示，如平 面 AC 2. 平面的基本性质（ 公理及其推论）. 图 12.3-1 （ 1 ）. 图 12.3-1 （ 2 ）. 图 12.3-1 （ 3 ）.

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11.3 空间图形的基本关系与公理

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  1. 11.3空间图形的基本关系与公理

  2. 1.平面:平面是空间重要的元素,它是一个抽象的概念。平面的两个特征：①无限延展； ②平的（没有厚度）。平面的画法：通常画平行四边形来表示平面。平面的表：用一个小写的希腊字母 、 、 等表示，如平面 、平面 或用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平 面AC 2.平面的基本性质（公理及其推论） 图12.3-1（1） 图12.3-1（2） 图12.3-1（3）

  3. 公理1.若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平内。用符号表示为：A公理1.若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平内。用符号表示为：A , B ,A ,B （如图12.3-1（1））. 公理2.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 用符号表示为： 公理3：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确 定一个平面）。 用符号表示为：点A、B、C不共线 （如图12.3-1（2））. （如图12.3-1（3））. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 用符号表示为：

  4. 3.空间图形的基本关系 (1).空间直线与直线的位置关系: 相交,平行,异面。 相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点； 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直线．(2).空间直线与平面位置关系: 直线在平面内, 直线与平面相交, 直线与平面平行. ， ， 。（如图11.3-2）. 图11.3-2 直线在平面内——无数个公共点；直线和平面相交——有且只有一个公共 点；直线和平面平行——没有公共点。符号分别可表示为

  5. (3).空间平面与平面位置关系: 平面与平面平行, 平面与平面相交. 两平面平行——没有公共点；两平面相交——有一条公共直线。符号分别可表示为 。 ， 4.空间四边形:四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形。 5．空间等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

  6. 空间图形的基本关系的判断 判断下列命题的真假 与平面 相交,那么它们只有有限个公共点； :(1) 如果平面 (2) 过一条直线的平面有无数多个；(3) 两个平面的交线可能是一条线段；(4) 两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；(5) 经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6) 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面。其中真命题序号是（把你认为正确的命题序号都填上）。 答案：(2)和(6)。 解析：根据公理可知，(2)和(6)为真命题,其余皆为假命题。

  7. 与空间四边形的有关的问题 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。 [思路分析]由三角形的边的中点联想到中位线平行底边的性质。再考虑到证明平行四边形的方法——四边形中有一组对边平行且相等、两组对边平行等方法。 [解答] 证明：连结BD，因为EH是△ABD的中位线， 所以EH//BD，且EH= 同理，FG//BD．且FG= BD。 BD。 因为EH//FG且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形。

  8. 直线（点）共面的证明问题 已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线， 求证：a、b、c、d共面。 [思路分析]首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。 证明：（i）若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，但Ad，如图11.3-4 (1)．∴直线d和A确定一个平面α。 又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G， α 则A、E、F、G∈α。∵A、E∈α，A、E∈a，∴a α，c ∴a、b、c、d在同一平面α内． (ii)当四条直线中任何三条都不共点时，如图11.3-4(2)， ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．

  9. 设直线c与a、b分别交于点H、K，则H、K∈α。又 H，K∈c，∴c α。同理可证d α。 ∴a、b、c、d四条直线在同一平面α内。 图11.3-4(2) 图11.3-4（1）

  10. A 点共线的证明问题 H E D G B 图11.3-5 F C 解：（1）∵E,H分别是边AB,AD的中点 ∴EH∥BD,且EH= BD，又∵ = = ， ∴FG∥BD且FG= BD，∴四边形EFGH为梯形。 如图11.3-5，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD中点，F、G分别在BC、CD上，且 。（1）判断四边形EFGH的形状； （2）求证： EF和GH的交点在直线AC上。 思路分析:（1）由题设易证EH∥FG,且EH≠FG，故四边形EFGH为梯形；（2）欲证三线共点,可先证其中两条直线有交点,再证交点也在第三条直线上.

  11. （2）证明：由（1）知，四边形EFGH为梯形，从而两腰EF,GH相交,设交点为P,（2）证明：由（1）知，四边形EFGH为梯形，从而两腰EF,GH相交,设交点为P, ∵P直线EF, 直线EF平面ABC,∴P平面ABC ∴P是平面ACD与平面ABC 的公共点,又平面ACD∩平面ABC=直线AC ，∴P直线AC。∴直线EF,GH,AC交于一点

  12. 用函数等知识解决立几问题 ,同理  EF∥BD 解: (1)EC1∥DC 又易知,ED=BF,EF≠BD四边形EFBD是等腰梯形.(2)分别取EF,BD中点K,O,连结KO,C1K,CO, C1K即为C1到EF距离,∴C1K= x。作KM⊥OC于M, 图11.3-8 如图11.3-8,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是棱CC1延长线上一点,过BD与Q的平面截得正方体的截面为EFBD,(1)判断截面EFBD的形状;(2)若设C1到EF的距离为x,试把截面EFBD的面积表示为x的函数S(x). = KO= ,

  13. ) (2x+ 所以S =f(x)= =(x+ ) (0<x< )

  14. 本 节 完

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