1 / 57

Mastering Roots of Equations: Effective Methods for Solving

Delve into various methods for finding roots of equations, from bracketing techniques like bisection and false position to open methods like Newton-Ralphson and secant methods. Learn to handle multiple roots effectively. Understand the significance of zeroes of functions and the numerical methods involved, including plotting graphs. Enhance your understanding of algorithms, convergence, and bracketing methods.

roux
Download Presentation

Mastering Roots of Equations: Effective Methods for Solving

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. CPE 332Computer Engineering Mathematics II Week 11 Part III, Chapter 9 Roots of Equations

  2. Today Topics • Roots of Equation • Bracketing Method • Bisection Method • False Position Method • Open Method • Simple One-Point Iteration • Newton-Ralphson Method • Secant Method • Multiple Roots Problem • Modified Method

  3. Roots of Equations

  4. Zeroes of Functions • กำหนด Function y=f(x) • Zeroes ของ Function คือค่าของ x ที่ทำให้ f(x)=0 หรือค่า y=0 • คือราก(root) ของสมการ f(x)=0 นั่นเอง • ตัวอย่าง y=x3-2x2+x-5 • สมการ Polynomial, degree = 3 • ถ้าเกิน Quadratic (Degree = 2) การหารากจะทำได้ยาก, ไม่มีวิธีทาง Analytic Method โดยตรง เหมือน y=Ax2+Bx+C=0

  5. Zeroes of Functions • ตัวอย่าง y=x3-2x2+x-5 • วิธีทาง Numerical ที่เราเคยเรียนมาในวิชาเรขาคณิตย์ คือ Plot Graph และหารากของสมการจาก Graph • 1. แต่วิธีนี้จะให้ค่าที่หยาบ • 2. กรณีที่เป็น Complex Root จะหาไม่ได้ จาก Graph

  6. Zeroes of Functionsy=x3-2x2+x-5 2.4

  7. Zeroes of Functionsy=x3-2x2+x-5 2.4

  8. Roots of Equation • วิธีที่จะกล่าวต่อไป • Numerical Method = Algorithm • หา Zero Crossing (รากที่เป็นค่าจริง) • สามารถได้คำตอบให้ถูกต้องด้วย Significant Digit มากเท่าที่เราต้องการ • ต้อง Run Algorithm นานขึ้น • Algorithm จะต้อง Converge • เป็น Iterative Method • ถ้า Algorithm Converge, แต่ละ Iteration ที่ Run จะให้คำตอบที่ถูกต้องขึ้นเรื่อยๆ • จะช้าหรือเร็วขึ้นอยู่กับ Convergence Rate ของแต่ละ Algorithm

  9. Methods • Bracketing Method • Bisection • False Position • Open Method • Simple one-point Iteration • Newton-Ralphson • Secant Method

  10. Bracketing Method • ใช้หลักความจริงที่ว่า เมื่อ f(x)=0 มันจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย • ดังนั้น f(x-)f(x+) < 0 เมื่อ f(x)=0 • เราเริ่มจาก สองค่าของ x คือ xlและ xuที่มีคุณสมบัติ f(xl)f(xu) < 0 • อย่างน้อยต้องมีคำตอบหนึ่งอยู่ในช่วงนี้ • Algorithm จะ Search หาคำตอบในช่วง Bracket นี้ โดยจะลดขนาดของ Bracket ลงเรื่อยๆ

  11. Bracketing Method

  12. Bracketing Method

  13. Bracketing Method:Bisection

  14. Bracketing Method

  15. Bracketing Method xu=xr

  16. Bracketing Method

  17. Bracketing Method

  18. Bracketing Method

  19. Bracketing Method:Bisection

  20. Bracketing Method:Bisection

  21. Bracketing Method:Bisection

  22. Bracketing Method: Bisection

  23. False-Position Method

  24. False-Position Method

  25. False-Position Method

  26. False-Position Method

  27. False-Position Method

  28. False-Position Method

  29. Open Method: Simple One-Point Iteration

  30. Open Method: Simple One-Point Iteration

  31. Open Method: Simple One-Point Iteration

  32. Open Method: Simple One-Point Iteration

  33. Open Method: Simple One-Point Iteration

  34. Open Method: Newton-Ralphson Method

  35. Open Method: Newton-Ralphson Method

  36. Open Method: Newton-Ralphson Method

  37. Open Method: Newton-Ralphson Method

  38. Open Method: Newton-Ralphson Method

  39. Open Method: Secant Method

  40. Open Method: Secant Method

  41. Open Method: Secant Method

  42. Multiple Roots

  43. Multiple Roots

  44. Multiple Roots

  45. Multiple Roots

More Related