第五模块 微分方程及应用

1. 第五模块　微分方程及应用 第四节　二阶常系数线性微分方程

2. 一 自由项f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y +py +qy = Pn(x), ⑥ 因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式， 其中 Pn(x) 为 x的 n次多项式. 所以可设 ⑥ 式的特解为 当原方程 ⑥中y项的系数 q 0 时， k取0； 其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当 q= 0，但p 0 时， k取1； 当 p= 0， q= 0 时，k 取 2.

3. 例5求方程 y - 2y + y= x2的一个特解. 解因为自由项 f (x)= x2是 x 的二次多项式， 且 y的系数 q = 1  0，取 k = 0 . 所以设特解为 则 代入原方程后，有

4. 比较两端 x同次幂的系数，有 解得 A = 1，B = 4，C = 6. 故所求特解为

5. 例6求方程 y +y = x3 – x +1 的一个特解. 解因为自由项 f (x)= x3 – x +1 是一个 x 的三次多项式， 且 y的系数 q = 0， p = 1  0，取 k = 1. 所以设方程的特解为 则 代入原方程后，有

6. 比较两端 x同次幂的系数： 解得 故所求特解为

7. 二 自由项f (x) 为 Aeax型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y +py +qy = Aeax， ⑦ 其中 a，A均为常数. 　　由于 p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数， 因此，我们可以设 ⑦ 的特解 当a不是 ⑦式所对应的线性齐次方程的特征方程r2 + pr + q = 0 的根时，取k = 0； 其中 B 为待定常数， 当 是其特征方程重根时，取k = 2. 当a是其特征方程单根时，取k = 1；

8. 2 = B . 7 例7求方程 y +y + y= 2e2x的通解. 解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0， 所以，设特解为 则 代入方程，得 故原方程的特解为

9. 1 = B , 4 例8求方程 y + 2y - 3y= ex的特解. 解a = 1 是特征方程 r2 + 2r- 3 = 0 的单根，取 k = 1， 所以，设特解为 则 故原方程的特解为 代入方程，得

10. 三 自由项f (x) 为 eax(Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 ⑧ y +py +qy = eax (Acos wx + Bsin wx)， 其中 a，A，B均为常数. 　　由于 p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数， 因此, 我们可以设 ⑧有特解 其中 C，D为待定常数. 当a + wi不是⑧式所对应的齐次方程的特征方程的根时， 是根时， 取k = 0， 取k = 1， 代入⑧ 式，求得 C及 D.

11. 例 9求方程 y + 3y -y= ex cos 2x的一个特解. 解自由项 f (x) = ex cos 2x为 eax(Acoswx + Bsinwx)型的函数， 且 a+wi=1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2+ 3r – 1 = 0 的根， 取 k = 0，所以设特解为 则

12. 代入原方程，得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得 解此方程组，得 故所求特解为

13. 例10求方程 y +y= sin x的一个特解. 解自由项 f (x)= sin x为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a=0，w = 1， 且 a+wi=i是特征方程 r2 + 1 = 0 的根， 取 k = 1，所以，设特解为 则 代入原方程，得

14. 比较两端 sinx与 cosx的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y +y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为

15. 例 11方程 y + 4y= x +1 + sinx的通解. 解自由项 f (x)= x +1 + sinx可以看成 f1(x)= x +1 和 f2(x)= sin x之和， 所以分别求方程 ⑨ y + 4y= x +1， ⑩ 和 y + 4y= sin x . 的特解. 方程 ⑨的特解易求得， 设方程⑩的特解为

16. 代入⑩，得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解

17. 　　原方程所对应的线性齐次方程为y + 4y= 0，其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x， 故原方程的通解为