数 值 微 积 分

1. 第二章 数 值 微 积 分

2. Contents 1 插值型求积公式 2 复化求积公式 求积公式的误差 3 自动选取步长法 4 5 龙贝格求积公式 6 高斯型求积公式 数值微分 7

3. 数值积分解决的问题 • (1) 原函数的解析式不能用初等函数表示出来，如积分：　 • (2) 原函数形式过于复杂。 (3) 被积函数是由实验所得到的数据表或曲线。

4. 数值积分的基本思想 构造一个简单的函数（例如多项式）Pn(x) ，来近似代替被积函数 f(x) ，从而通过求 Pn(x) 的积分求得 f(x) 积分的近似值。

5. 利用插值多项式则积分易算。 1 插 值 型 求 积 公 式 思路 由拉格朗日插值公式 求积节点 求积系数 插值型求积公式

6. １，两点(trapeziform)公式 当有两个插值节点{a, b}时，可以构造线性插值多项式

7. 2，三点(Simpson)公式 当有三个插值节点{a, c=(a+b)/2, b}时，可构造

8. ３，牛顿－柯斯公式 当插值节点在[a, b]上平均分布时，求积公式　　　　　　称为牛顿－柯斯(Newton-Cotes)公式。　　　　 此时可将公式作进一步整理：

9. 牛顿－柯斯系数

10. 牛顿－柯斯系数表： k n

11. 列出前5个牛顿－柯斯公式 第二Simpson公式 （与Simpson公式具有相同的精度） Cotes公式

12. 2 复化求积公式 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes复化求积公式。 通常采取的办法是： （1）将积分区间[a, b]n等分，h=(b-a)/n，h称为积分步长，则分点为，xk=a+kh, k=0,1,…n； （2）在区间[xk, xk+1]上应用插值公式求得积分Ik； （3）求和， 作为整个积分区间上的近似值。

13. 在每个 上用梯形公式：  复化梯形公式： 求和

14.  复化 Simpson 公式： 在每个 上用Simpson公式： 求和

15.  复化 Cotes 公式： 在每个 上用Cotes公式： 求和

16. xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xk) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 例：利用数据表 计算积分 取n = 8用复化梯形公式

17. 取n=4,用复化辛普生公式

18. 求 积 公 式 的 误 差 3 梯形公式的截断误差 在a点附近，将f(x)展开成泰勒级数: 则，

19. 另一方面，由

20. 复化梯形公式的截断误差 若取h=(b-a)/n，则复化梯形公式的误差为对每个小区间[xk, xk+1]应用上式,再对所有小区间求和：

21. 辛普森公式的截断误差 在c=(b+a)/2点附近，将f(x)展开成泰勒级数: 则，

22. 另一方面， 所以 所以

23. 复化辛普森公式的截断误差 若取h=(b-a)/n，则复化辛普森公式的误差为对每个小区间[xk, xk+1]应用上式,在对所有小区间求和：

24. 复化Cotes公式的截断误差 若取h=(b-a)/n，则复化辛普森公式的误差为对每个小区间[xk, xk+1]应用上式,在对所有小区间求和：

25. 自 动 选 取 步 长 法 4 基本思想：在求数值积分时，将区间逐次分半，利用前后两次的计算结果来判断误差的大小是否已经满足精度的要求，如果前后两次的计算结果之间的误差在允许的范围内，则停止计算，否则继续重复前面的过程。这样来自动地确定n，并算出满足精度要求的近似值。

26. 练习1： 验证球谐函数的正交归一性

27. 练习2： 单摆的周期公式为 用Simpson求积法编写程序数值计算上述积分；分别取 将所得周期与小摆角近似下的周期进行比较。

28. 5 龙 贝 格 求 积 公 式 由复化梯形公式的截断误差表达式： 如果f’’(x)在[a, b]上变化不大，将积分区间对分后，T2n 的误差为：

29. 类似地，由复化辛普生公式的截断误差表达式：类似地，由复化辛普生公式的截断误差表达式： 如果f (4)(x)在[a, b]上变化不大，我们可以得到：

30. 类似地，由复化柯斯公式的截断误差表达式： 如果f (6)(x)在[a, b]上变化不大，我们可以得到：

31. 把区间[a，b]2n等分时，由复化梯形公式计算的积分I 近似值T2n的误差大致等于(T2n - Tn )/3，如果用这一误差作为一种补偿，即用 作为积分I 的近似值，则可大大提高计算的精度。

32. 而由复化梯形公式可知 复化Simpson公式 (1) 即用复化梯形法二分前后的两个积分近似值和按照上式作简单的线性组合，就可以得到精度较高的辛普森法的积分结果，从而加速了数值逼近的效果。上式又称梯形加速公式。

33. 同样，由 是比S2n更精确的I* 的近似值，这个值就是Cn，即有 (2)

34. 同样，由 是比S2n更精确的I* 的近似值，这个值就是Cn，即有 (2)

35. 同样，由 是比C2n更精确的I* 的近似值，记为Rn，即有 (3)

36. 按照上述规律，还可以构造出新的求积公式，其线形组合的两个系数分别为：按照上述规律，还可以构造出新的求积公式，其线形组合的两个系数分别为： 但是，当m ≥ 4时，第一个系数接近于1，第二个系数的绝对值很小。于是，这样组合的新公式与前一个公式差别不大，反而增加了工作量，故计算时只用到m=3为止。 通常将上述这种在自动选取步长的求积过程中运用三个加速公式将变步长的梯形法得到的粗糙的积分近似值迅速加工成精度较高的积分近似值的求积方法称为龙贝格(Romberg)求积法，为方便起见，将公式(3)称为龙贝格求积公式。

37. 6 高 斯 型 求 积 公 式 • 、求积公式的代数精度： 定义：称 为一般求积公式，这里Ai为不依赖于f(x)的任意常数。若上式对任意不高于m次的多项式精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，就说这个求积公式具有m次代数精度。 代数精度越高，公式越精确。

38. 例如： 确定梯形求积公式 的代数精度。 代数精度的求法：从f(x)=1,x,x2…依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm+1,则其代数精度是m。 解： 所以，梯形求积公式的代数精度为1。

39. 例如： Simpson求积公式的代数精度 解： 所以，Simpson求积公式的代数精度为3。

40. 在插值型求积公式中，插值节点是事先固定的，又是进一步规定是等距的。现在考虑在节点个数一致的前提下，可否自由选择节点的位置，从而提高求积公式的精度呢？在插值型求积公式中，插值节点是事先固定的，又是进一步规定是等距的。现在考虑在节点个数一致的前提下，可否自由选择节点的位置，从而提高求积公式的精度呢？

41. 例如： 设有求积公式 成立，选择A0、A1和x0、x1，以使该式的代数精度最高。 解： 以上是四个方程四个未知数，求解得 显然此式具有3次代数精度。即求积公式的精度不仅与节点的多少有关，还与这些节点所在的位置有关。

42. f(x) B A a o x b 对于x0、x1、 … 、xn这n+1个节点，可以达到的最大代数精度是多少呢？

43. 二、最高代数精度求积公式 引入权函数(x)后考虑积分 假定我们选取n+1个节点的求积公式， 其中，Ai不依赖于f(x)，但与(x)有关，适当地选取节点xi和系数Ai，上述积分公式可具有最大代数精度为多少？ 定理：求积公式 的代数精度最高不超过2n+1 。

44. 证明：假定公式 对所有的m次多项式精确成立。 于是，有 令

45. 由于系数am、am-1…的任意性，上式成立的充要条件是：由于系数am、am-1…的任意性，上式成立的充要条件是： 共有A0…An，x0…xn，(2n+2)个未知数，m+1个方程，因此可知，m最多为2n+1。 定理得证。

46. 定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式，Guass求积公式的节点称为Guass点,系数称为Guass系数。 三、高斯点的确定和常用的高斯求积公式 定理：插值型求积公式 中，节点xi(i=0,1…n)是高斯点的充分必要条件是：在区间[a, b]上，以这些点为零点的n+1次多项式n+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)所有与次数不超过n的多项式Pn(x)都带权(x)正交，即

50. 根据上述定理，构造高斯型求积公式的方法就是去找[a,b]上的与任意多项式Pn(x)带权(x)正交的n+1次多项式，它的n+1个零点就是高斯点。根据上述定理，构造高斯型求积公式的方法就是去找[a,b]上的与任意多项式Pn(x)带权(x)正交的n+1次多项式，它的n+1个零点就是高斯点。 • 正交多项式的构造方法 1)待定系数法 令 2)利用递推公式（已知g0和g1）