第六节空间直线及其方程

第六节空间直线及其方程 • 在空间直角坐标系中： • 一个三元一次方程表示一个平面； • 一个三元二次方程表示一个曲面； • 两个曲面的交线表示一空间曲线；两个平面的交线表示（）。空间直线

第八节空间直线及其方程 直线的点向式方程直线的一般方程直线的参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角例题、练习与思考

一.空间直线的一般方程 实际上空间直线可以看作两个平面的交线：直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直线外的点不可能同时在两个平面上。 L B L C A

空间直线一般方程表示式 例如: L

空间直线一般方程表示式 • 通过空间直线L的平面有无数多个，从中任两个方程联立，均表示空间直线L。 L L

z O y x 二.空间直线的对称式方程与参数方程 s • 直线的对称式方程 • （点向式方程） M(x,y,z)

s s L M(x,y,z) 1.对称式方程(点向式) 直线上任一向量都与s平行. • 方向向量: • 如果一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线的方向向量。对称式方程的建立 • 依据： • 过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全可以确定下来。

已知直线L上一点 与一个方向向量s={m,n,p}，M(x,y,z)是直线上任一点,则对称式方程对称式方程的建立（1）向量与方向向量 s={m,n,p}平行；（2）两个向量坐标对应成比例；即有称之为直线对称式方程.

方向数与方向余弦 • 方向数：直线的任一方向向量的坐标，即设直线的方向向量 s={m,n,p},则m,n,p为该直线的一组方向数。 • 向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即

三.直线的参数方程 由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程。只须设这就是直线L的参数方程. 这里t为参数. 则有

s s1 M0 L1 例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程. 解设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5} 所求直线L方向向量为s，因为s平行s1可取s ={2,1,-5}; 又因为直线L过点M0 (4,-1,3)，故，所求直线方程L为：

例2 解（1）求s, 已知相交于直线的两个平面法向量分别为n1={3,2,4},n2={2,1,-3},则有即 s={-10, 17, -1}. 求以下直线的对称式方程 (2)求点M0 , 令方程组中z=0,则由点的确定方法不唯一. 也可以令y=1等等得M0 =(-9, 19, 0).故所求直线方程L为：

四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角. s2={m2,n2,p2} φ s1={m1,n1,p1} L2 L1

两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：

两个结论： 1.若直线 L1与直线 L2平行，则有两直线平行图示 π

图示 2.若直线 L1与直线 L2垂直，则有两直线垂直图示

例题已知直线求两直线的夹角. 解由所给方程知s1={1，-4，1},s2={2，-2，-1}，代入夹角公式可得

四.直线与平面的夹角 • 定义直线与平面的夹角设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平面π的夹角.记作φ.

直线与平面的夹角（图示） πAx+By+Cz+D=0 这是直线L与其在平面π上投影的交角这是平面π与直线L的交角 s={m,n,p} L n={A,B,C} φ θ π

n={A,B,C} s={m,n,p θ φ 四.直线与平面的夹角已知直线L的方向向量为（m, n, p）平面π的法向量为（A，B，C），则有夹角公式：

两个结论： 1.若直线 L与平面π平行，则n⊥s，于是 L // π图示 L： s={m,n,p} πAx+By+Cz+D=0 n={A,B,C} s={m,n,p} π

2.若直线 L与平面π垂直，则则n∥s，于是 L： s={m,n,p} n={A,B,C} π π：Ax+By+Cz+D=0

练习思考讨论 平行确定下面直线与平面的位置关系：垂直（1）.4x-2y-2z=3,与（2）. 3x-2y+7z=8,与（3）.x+y+z=3,与直线在平面上

求直线与平面交点 s={m,n,p} L： π：Ax+By+Cz+D=0 n={A,B,C} 怎样才能求出交点M？ M(x,y,z) π 图示

例题已知平面 π2x+y+z-6=0及直线 L 求其交点. 解令直线方程得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1）代入平面π方程，得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)-6=0 整理得5t=-5,即t=-1 将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.

1. 求点P(0,-1,1)到直线 • y+2=0 • x+2z-7=0的距离. n x=1, y=-2, z=3. P y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0 s L Q (3) 即为所求. 解（方法一） (1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量n平行于直线方向向量s，即五.综合例题 n={2,0,-1},P(0,-1,1), 得平面方程 2x-z+1=0. (2) 求直线与平面的交点，解方程组即得 Q（1，-2，3）图示

1. 求点P(0,-1,1)到直线L的距离. P s L Q 解（方法二）以 |PQ|为高作一个平行四边形如图。则d=|PQ|= 平行四边形的高。五.例题 (1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0). (2)由上面知 s={2,0.-1},另作向量于是有 M0 图示

1. 求点P(0,-1,1)到直线 • y+2=0 • x+2z-7=0 的距离. P (3) 即为所求. s L M0 Q 由向量积的几何意义知：平行四边形面积续上 d 即为所求平行四边形的高PQ. 图示

五.综合例题（直线方程形式互化） 解（1）求参数方程，令 1.将直线化为参数方程和对称式方程. 此即所要求的参数方程. ？？？

解（2）求一般方程，由 2.将直线对称式方程L化为一般方程. ？？？即为所要求的一般方程.

解先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即 Mo(1,0,-2); 3.将直线的一般方程L化为标准方程（即对称式方程）. 再求 s, 由带回标准方程，得结果如左.

1.求过点A（3，-2，1）且垂直于直线 的平面方程. 练习.思考.讨论 2.用参数方程与对称式方程表示直线：

答：共面.可以由前三个平面方程联立解得：x=4, y=5, z=-7, 代入第四个平面方程检验，满足该方程。 3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中提示任取三个平面方程联立，解出交点后代入并满足第四个平面方程，则两直线共面

证明：由已知 4.证明两条直线 L1,L2相互垂直.其中先求出两条直线的方向向量，再由两个方向向量的数量积为零证得.《提示》

空间直线方程：（用三元一次方程表示） 小结向量式一般式点向式参数式

第六节 空间直线及其方程