FUNCIONS ELEMENTALS - PowerPoint PPT Presentation

slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
FUNCIONS ELEMENTALS PowerPoint Presentation
Download Presentation
FUNCIONS ELEMENTALS

play fullscreen
1 / 38
FUNCIONS ELEMENTALS
154 Views
Download Presentation
rose-ramsey
Download Presentation

FUNCIONS ELEMENTALS

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. FUNCIONS ELEMENTALS

  2. En Aquest tema analitzarem el següents tipus de funcions: - 1r grau: RECTES - FUNCIONS POLINÒMIQUES - 2n grau: PARÀBOLES De les quals, de moment, en veurem dues… HIPÈRBOLES - FUNCIONS DEL TIPUS: - FUNCIÓ ARREL QUADRADA - FUNCIÓ EXPONENCIAL - FUNCIÓ LOGARÍTMICA

  3. De cadascuna d’elles analitzarem les següents propietats: - Domini: és el conjunt de valors que pot prendre la variable independent (x) Recorregut: és el conjunt de valors que pot prendre la variable dependent (y o f(x)) • Monotonia: és el conjunts de valors de la variable independent (x) pels quals • la funció és creixent i el conjunt pels quals la funció és decreixent. • Màxims i mínims: Són els punts pels quals la funció té un màxim relatiu • o un mínim relatiu. • Continuïtat: És el conjunt de valors pels quals la funció està definida i no • presenta cap tipus de discontinuïtat. • Asímptotes: Són totes aquelles rectes a les quals s’acosten unes funcions • determinades. - Punts de tall: són els punts en els quals la funció talla als eixos OX i OY

  4. En aquest tema, de cada tipus de funció determinarem primer alguna o algunes de les propietats que ens siguin suficients per representar el gràfic de la funció. Un cop la tenguem representada, observarem i determinarem les restants propietats. Comencem!!!!!

  5. FUNCIONS POLINÒMIQUES DE 1r GRAU Totes les funcions polinòmiques de 1r grau es poden expressar de la forma: La representació gràfica d’aquest tipus de funcions sempre resulta ser una recta. Com que basten dos punts per representar una recta, el que farem serà determinar els punts de tall amb els eixos. Això ens bastarà per poder representar la recta! Però... com es calculen els punts de tall?

  6. PUNTS DE TALL - Per trobar els punts de tall amb l’eix OX (eix horitzontal), hem d’igualar la variable dependent (y o f(x)) a 0 i resoldre l’equació. - Per trobar els punts de tall amb l’eix OY (eix vertical), hem d’igualar la variable independent (x) a 0 i resoldre l’equació. Vejam un exemple...

  7. Punts de tall: Eix OX: Si igualam f(x) = 0... Per tant, tallarà a l’eix OX al punt x = 3/2 o x = 1,5 Eix OY: Si igualam x = 0... Per tant, tallarà a l’eix OY al punt y = 3 Representem aquests dos punts i la recta que passa per ells...

  8. Representam el punt de tall amb l’eix OX que hem trobat a x = 1,5 Representam la recta que passa per aquests dos punts... Representam el punt de tall amb l’eix OY que hem trobat a y = 3

  9. Ara que la tenim representada, podem escriure totes les propietats restants: Observarem quines d’elles són comunes a totes les funcions polinòmiques de 1r grau. DOMINI: Totes les funcions polinòmiques tenen per domini el conjunt R, ja que no hi ha cap valor de x on la funció no estigui definida. RECORREGUT: Totes les rectes tenen per recorregut el conjunt R, ja la variable y = f(x) pren tots els valors reals. MONOTONIA: En aquest cas, la funció és decreixent per tots els valors de R, ja que a mesura que avança la variable x, la variable y = f(x) va disminuint. Les funcions polinòmiques de 1r grau són o bé creixents a R, o bé decreixents a R. Això depèn del signe del coeficient de x, ja que si aquest és positiu la funció creix i si és negatiu, decreix. MÀXIMS I MÍNIMS: Cap recta té màxims i/o mínims! CONTINUÏTAT: Totes les funcions polinòmiques són continues a R. ASÍMPTOTES: Cap funció polinòmica té asímptotes.

  10. FUNCIONS POLINÒMIQUES DE 2n GRAU Totes les funcions polinòmiques de 2n grau es poden expressar de la forma: La representació gràfica d’aquest tipus de funcions sempre resulta ser una paràbola. Per poder representar la paràbola, necessitam trobar els punts de tall i el vèrtex. Però... com es calcula el vèrtex?

  11. Trobar la situació del vèrtex és determinar les seves coordenades (x, y) Determinarem la seva coordenada x mitjançant la fórmula: Un cop obtinguem aquest valor, substituirem aquest a l’equació i obtindrem la coordenada y Vejam-ho amb un exemple...

  12. Obtenim la coordenada x del vèrtex: Obtenim la coordenada y del vèrtex: Obtenim els punts de tall amb l’eix OX: La fórmula ens dóna dues solucions: x = 2 i x = – 4 Obtenim el punt de tall amb l’eix OY:

  13. Representam tots aquests punts: El vèrtex l’hem obtingut al punt que té coordenades x = – 1 i y = – 9 Els punts de tall amb l’eix OX els hem trobat a x = 2 i x = – 4 Els punts de tall amb l’eix OY l’ hem trobat a y = – 8

  14. Ara que la tenim representada, podem escriure totes les propietats restants: DOMINI: Totes les funcions polinòmiques tenen per domini el conjunt R, ja que no hi ha cap valor de x on la funció no estigui definida. RECORREGUT: En aquest cas, és l’interval ja que la funció només pren valors de y que estan dins aquest interval MONOTONIA: En aquest cas, la funció és decreixent a l’interval i és creixent a l’interval Observa que per definir la monotonia, utilitzam intervals de valors de la coordenada x, no de la y MÀXIMS I MÍNIMS: Totes les paràboles tenen un màxim o un mínim al vèrtex. En aquest cas, tenim un mínim al punt (-1, -9) El que sigui màxim o mínim ho determinarà el signe del coeficient de x2, ja que depèn d’aquest que la paràbola tengui forma Còncava: quan el signe és positiu. Llavors tendrà un mínim. Convexa: quan el signe és negatiu. Llavors tendrà un màxim. CONTINUÏTAT: Totes les funcions polinòmiques són continues a R. ASÍMPTOTES: Cap funció polinòmica té asímptotes.

  15. - FUNCIONS DEL TIPUS: Aquest tipus de funcions tenen com a gràfica una hipèrbola limitada per una asímptota vertical i una horitzontal Asímptota vertical Asímptota horitzontal

  16. - FUNCIONS DEL TIPUS: La hipèrbola sempre està situada a dos quadrants oposats de les asímptotes, Per representar la hipèrbola només caldrà trobar les asímptotes i els punts de tall. Si no trobam punts de tall (potser que no n’hi hagi), haurem de trobar un punt qualsevol. Però...com es troben les asímptotes?

  17. - FUNCIONS DEL TIPUS: L’asímptota horitzontal és la recta horitzontal situada a y = L’asímptota vertical és la recta que es troba a la solució de l’equació: cx + d = 0 És a dir, que trobarem la situació de l’asímptota vertical al igual el denominador a zero. Vejam un exemple...

  18. Trobam l’asímptota horitzontal: Trobam l’asímptota vertical: x = – 2 x + 2 = 0 Trobam els punts de tall: Passam x + 2 multiplicant al 0 i ens queda... 0 = 2x – 4 - Amb l’eix OX: x = 2 Que té com a solució: - Amb l’eix OY: Ara ja tenim el que ens cal per respresentar la funció...

  19. Hem trobat l’asímptota horitzontal a y = 2 I una l’asímptota vertical a x = – 2 Ara ja podem representar la hipèrbola, que passarà per aquests dos punts i estarà situada als dos quadrants oposats... Hem trobat un punt de tall a x = 2 I un altre a y = – 2

  20. Ara, trobarem totes les restants propietats...

  21. DOMINI: Com que no podem dividir un nombre entre zero, aquestes funcions no estaran definides al punt on el denominador s’anul·li, en aquest cas quan x + 2 =0. Com que a l’exemple s’anul·la al punt x = - 2, tendrem que el domini és R – { – 2} RECORREGUT: Com que la hipèrbola no arriba a tocar mai les asímptotes, no hi ha cap valor de la funció que doni y = 2, per tant el recorregut serà R – {2} MONOTONIA: Aquest tipus de funcions són o bé creixents o bé decreixents en tot el seu domini. En aquest cas, la funció és creixent a R – { – 2} MÀXIMS I MÍNIMS: Les hipèrboles no tenen ni màxims ni mínims. CONTINUÏTAT: Són contínues al seu domini, és a dir, a R – { – 2}. De fet, al punt x = – 2 la funció presenta una discontinuïtat anomenada asimptòtica.

  22. - FUNCIONS DEL TIPUS: El que podem dir d’aquest tipus de funcions, és que la seva representació gràfica és mitja paràbola horitzontal, és a dir, totes elles tenen una d’aquestes 4 formes:

  23. El primer que trobarem és el domini de la funció i el vèrtex i seguidament, si en té, els punts de tall: PUNTS DE TALL El domini ens servirà per determinar on està definida la funció. VÈRTEX Vegem com trobar tot això!

  24. Exemple: Per trobar el domini, imposam que el que hi hagi dins l’arrel sigui positiu (o zero). Això ens plantejarà la inequació: Fixa’t que només agafam l’interior de l’arrel (no agafam el -1), ja que l’únic perill de trobar nombres que no són reals és que l’interior de l’arrel sigui negatiu. Resolem: Per tant, el DOMINI serà:

  25. - DOMINI: El vèrtex sempre es troba a l’extrem d’aquest domini, en aquest cas, a x = 2. Però hem de trobar la coordenada y : Trobam els punts de tall: Eix OX: y = 0 Aquesta solució, SEMPRE s’ha de comprovar: Eix OY: x = 0

  26. Domini Situem tot el que hem trobat: Punts de tall: x = 3/2 y = 1 Vèrtex: (2, -1) Podem ja representar la funció!

  27. Expressam les altres propietats: - RECORREGUT: - MONOTONIA: és decreixent a Té un mínim absolut a (2, -1) - És contínua a - No té asímptotes

  28. Exemple: Per trobar el domini, imposam que el que hi hagi dins l’arrel sigui positiu (o zero). Això ens plantejarà la inequació: Resolem: Per tant, el DOMINI serà: El vèrtex sempre es troba a l’extrem d’aquest domini, en aquest cas, a x = 3. Però hem de trobar la coordenada y : Trobam els punts de tall: Eix OX: y = 0 Aquesta solució, SEMPRE s’ha de comprovar: Com que no ens dóna que la solució és correcte, això voldrà dir que no hi ha punt de tall. Eix OY: x = 0 Tampoc tenim punt de tall!

  29. Domini Vèrtex: (3, -2) Com que no tenim punts de tall, podem representar a ull la funció... També podem donar algun valor si volem fer-ho més bé...

  30. Expressam les altres propietats: - RECORREGUT: - MONOTONIA: és decreixent a Té un màxim absolut a (3, -2) - És contínua a - No té asímptotes

  31. Si a > 1 Si a < 1 FUNCIÓ EXPONENCIAL De moment, només farem les del tipus y = ax on a > 0 Aquest tipus de funcions, depenent de la a, poden ser... o bé,... Vejam que tenen en comú totes elles...

  32. FUNCIÓ EXPONENCIAL y = ax DOMINI: Les dues tenen domini R RECORREGUT: Als dos casos és MONOTONIA: Al primer cas és creixent a R i al segon cas és decreixent a R Cap de les dues té cap tipus de MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: Les dues són funcions contínues a R PUNTS DE TALL: Només tenen un únic punt de tall a OY i és al punt y = 1 Això és degut a que la y no pot ser mai 0, ja que no hi ha cap potència que doni 0. Per tant, No hi ha punts de tall amb l’eix OX. ASÍMPTOTES: Les dues tenen una asímptota a l’eix OX, és a dir, a y = 0

  33. Exemple: Al ser 2>1, la gràfica de la funció serà de la forma: Podem expressar totes les propietats: DOMINI: R RECORREGUT: MONOTONIA: és creixent a R No té ni MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: contínua a R PUNTS DE TALL: Només té un únic punt de tall a OY i és al punt y = 1 ASÍMPTOTES: té una asímptota a l’eix OX, és a dir, a y = 0

  34. Exemple: Al ser ½ < 1, la gràfica de la funció serà de la forma: Podem expressar totes les propietats: DOMINI: R RECORREGUT: MONOTONIA: és decreixent a R No té ni MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: contínua a R PUNTS DE TALL: Només té un únic punt de tall a OY i és al punt y = 1 ASÍMPTOTES: té una asímptota a l’eix OX, és a dir, a y = 0

  35. Si a > 1 Si a < 1 FUNCIÓ LOGARÍTMICA De moment, només farem les del tipus y = loga x on a > 0 Aquest tipus de funcions, depenent de la a, poden ser... o bé... Vejam que tenen en comú totes elles...

  36. FUNCIÓ LOGARÍTMICA y = loga x DOMINI: Les dues tenen domini ja que no estan definits els logaritmes ni de zero ni de nombres negatius RECORREGUT: Als dos casos és R MONOTONIA: Al primer cas és creixent a i al segon cas és decreixent a Cap de les dues té cap tipus de MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: Les dues són funcions contínues a PUNTS DE TALL: Només tenen un únic punt de tall a OX i és al punt x = 1 Això és degut a que la x no pot ser mai 0, ja que no està definit el logaritme. Per tant, No hi ha punts de tall amb l’eix OY. ASÍMPTOTES: Les dues tenen una asímptota a l’eix OY, és a dir, a x = 0

  37. Exemple: Al ser 2>1, la gràfica de la funció serà de la forma: Podem expressar totes les propietats: DOMINI: RECORREGUT: R MONOTONIA: és creixent a No té ni MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: contínua a PUNTS DE TALL: Només té un únic punt de tall a OX i és al punt x = 1 ASÍMPTOTES: té una asímptota a l’eix OY, és a dir, a x = 0

  38. Exemple: Al ser 0,6<1, la gràfica de la funció serà de la forma: Podem expressar totes les propietats: DOMINI: RECORREGUT: R MONOTONIA: és decreixent a No té ni MÀXIMS ni MÍNIMS. CONTINUÏTAT: contínua a PUNTS DE TALL: Només té un únic punt de tall a OX i és al punt x = 1 ASÍMPTOTES: té una asímptota a l’eix OY, és a dir, a x = 0