第九讲导数运算（ 2 ）

第九讲 导数运算（2）

一、导数运算（二） 1、隐函数的导数显函数y=f(x)。如y=2sin(lnx)… 隐函数---由方程给出的函数F(x,y)=0,其中 y是 x 的函数。如 sin(xy)=exy 有的隐函数可变形为显函数，有的变形很复杂，有的无法变换。（x2+y2=1)

针对隐函数的求导法是： ☆ 把y看成x的函数， ☆ 两边对x求导， ☆ 然后解出y/。

解:两边对x求导（注意y是x的函数） (x2+y2 )/x=1/ (x2)/x+(y2)/x=0 得 2x+2yy/x=0 [T= y2 y=f(x) ] ∴ y/ =-x/y 注意：隐函数导数中含y这是显然的，因为函数式中有时根本无法分开或解出。例已知 x2+y2=1，求 y/

例已知 ey-e=x+sin(xy) 求y/∣x=0 解：两边对x求导,得 eyy/x=1+cos(xy)·(y+xy/x) =1+ycos(xy)+xy/xcos(xy) y/x= 而 x=0 时，y=1， y/∣x=0= 2/e

y/∣x=0是 y/(x)当x=0时的值y/(0)。 应先 ----这是今后求导常用的，基本的方法。以上我们学习了初等函数求导法，而非初等函数怎么求导呢？注意由导数运算法则及公式求出导函数，然后让导函数在该点取值

2、幂指函数的导数 y=u(x)v(x)---既非幂函数，又非指数函数，不能用它们的公式求导。----对数求导法对数求导法： 1）两边取对数，(成为隐函数) 2）用隐函数的求导法求解。

解：两边取对数 lny=xlnx（隐函数且初等函数） 两边对x求导 y/x= x/lnx+x(lnx)/ ∴ y/x=(lnx+1)y=xx(lnx+1) 例已知 y=xx求 y/ 思考题：求导数 y =

例y=(ex +1)sinx 解：两边取对数 lny=sinxln(ex+1) 两边对x求导,得 y/x=(sinx)/ln(ex+1)+sinx[ln(ex+1)]/ =cosxln(ex+1)+sinx (ex+1)/ =cosxln(ex+1)+sinx ex

∴ y/x=[cosxln(ex+1)+sinx ex](ex+1)sinx 以上我们学习了四种类型函数的求导法，即简单函数、复合函数、隐函数、幂指函数。另外分段函数在每个区间上求导就是初等函数求导法，但在分段点采用定义法求导(略）。

二、使求导简便的方法（技巧） 1、先化简，再求导。尽量避免用乘除法则，化为加、减求导。

例 y= 求y/ 解：用商的导数公式显然是笨办法 y/=(x2+x-5/2+x-3)/ = 2x- x-7/2-3x–4

例已知 y= 求y / 解：先化简 y=x1/2x1/4x1/8=x7/8 ∴ y/= x–1/8

2、用对数求导法简化计算 例y=ln 求y/(0) 解法1y /= ( )/ = … = （繁）

解法2y/(x)=[ln(1+x)-ln(1-x)]/ = = y/(0)=2

注：比较两种方法得知， 利用对数性质，可将商的运算化为加减运算 ---这对一些大乘大除（若干式子乘除）类型可简便计算。

例 y = 求y / 解：利用对数求导法，则考虑 lny=ln(x+1)+ln(x+3)-ln(x2+1) y/=（）

3、对数的真数的n次方根可拿到前面作乘。 利用对数公式 lnxn =nlnx 可将复合函数的求导问题简化为简单函数的求导。

解：y/=[ ln(x2+y2)] / 得整理得 ∴ y/= 例 y=ln√x2+y2 求y /

小结: 隐函数的求导法,对数求导法,求导的技巧

第九讲 导数运算（ 2 ）