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§1 矩阵及其运算

§1 矩阵及其运算. 一、矩阵的定义. 1. 实际例子. 例 1 设某物质有 m 个产地， n 个销地，如果以 a ij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：. 销量. 销地. 2. …. j. … …. 1. n. 产地. 记. （ 2 ）－（ 3 ）. （ 1 ）－（ 2 ）. （ 3 ）－（ 1 ）. r 1 － r 2. r 2 － r 3. r 3 － r 1. 例 2 解线性方程组. 代替：.

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§1 矩阵及其运算

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  1. §1 矩阵及其运算 一、矩阵的定义 1. 实际例子 例1设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：

  2. 销量 销地 2 … j … … 1 n 产地

  3. 记

  4. （2）－（3） （1）－（2） （3）－（1） r1－r2 r2－r3 r3－r1 例2解线性方程组 代替：

  5. 由m×n个数aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表 2. 定义 　　称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。

  6. 称为列矩阵 只有一列的矩阵 注意： (1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1a2 … an)称为行矩阵 (2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。

  7. (3) 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等，记作A＝B。 (4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。

  8. 二、矩阵的运算 1. 矩阵的加法 (1) 定义 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n 则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B

  9. (2) 性质 设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵 (1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = O + A = A

  10. 2. 矩阵的减法 (1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m×n , 则称 ( －aij ) m×n为A的负矩阵，简记－A 显然 A+ (－A)= O , －(－A) = A 设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n (2) 减法： A－B = A + (－B ) = ( aij－ bij ) m×n

  11. 则矩阵 (  aij ) m×n称为数与矩阵A的乘积， 3.数与矩阵的乘法 (1) 定义 设是常数， A = ( aij ) m×n ， 记为 A，即

  12. (4) 1·A = A (－1)·A = －A (2) 性质 设 A、B 为 m × n 矩阵，、u为常数 (1) (  u ) A =  ( u A) = u (  A ); (2)  ( A + B ) =  A +  B (3) (  + u ) A =  A + u A

  13. 设 例3： 求A－2B 解：

  14. 则A与B的 乘积 C＝AB是m×n矩阵，C = ( cij ) m×n 4.矩阵的乘法 (1) 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n , 其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和 ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)

  15. 例4： 设矩阵 求乘积 AB和 BA 解：

  16. 注：AB  BA即矩阵乘法不满足交换律

  17. 例 5： 设 试证： (1) AB = 0； (2) AC = AD

  18. 证： (1) (2) 故　　AC ＝ AD

  19. 在矩阵乘法中，若AB = O A = O 或 B = O 比较： (1) 在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0 两个非零矩阵乘积可能为O。 (2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d (消去律成立) 在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D (消去律不成立)

  20. (2) 性质 (1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A (B + C ) = A B + A C (3) ( B + C ) A = B A + C A (4)  ( A B ) = (  A ) B = A (  B ) (其中  为常数)

  21. 5. 线性方程组的矩阵表示 设方程组为 可表示为 简记为 AX＝B。 A称为由线性方程组的系数矩阵。

  22. 例如： 则 6. 矩阵的转置 将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列， 列换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。 (1) 定义

  23. (4) ( A B ) T = BT AT (2) 性质 (1) ( AT ) T = A (2) ( A + B ) T = A T + B T (3) (  A ) T＝  A T

  24. 设 例6： 求 ( A B ) T。 解法一：

  25. 解法二： ( A B ) T = B T A T

  26. 记 A·A … A = Ak k个 则： k个 三、方阵 行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。 1.定义 (其中：k, l均为正整数)

  27. 0 0 2.几类特殊方阵 1. 单位矩阵 称为n阶单位矩阵，简记E 显然

  28. 0 其中 aij = 0, i  j 0 特别： 0 称为数量矩阵 0 2. 对角矩阵

  29. 0 0 (1) 0 0 0 0 结论：

  30. k 0 0 0 0 (2) k为正整数时

  31. 其中 aij = 0, i > j 0 0 其中 aij = 0, i < j 3. 上三角矩阵 下三角矩阵

  32. 4. 对称矩阵 (1) 若方阵A满足 AT= A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵。 (2) 若方阵A满足 AT= －A，即 aji = －aij，则称A为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, … n)

  33. 证： 由于 A+AT为对称阵，A－AT 为反对称阵 故 例7： 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵，A－AT 为反对称阵

  34. 3、比较方阵与行列式 (1)方阵 A对应的行列式记为|A |或det A 若 |A|  0，则称方阵 A 是非奇异(非退化)的，否则，称 A 是奇异(退化)的。 (2) |  A | =  n | A | (3) | A B | = | A | | B |

  35. 有 而 | A B | = | A | | B | 所以 (3) | A B | = | A | | B | 例如：

  36. 推广： | A 1 A 2 … A m| = | A 1||A 2 |… | A m| (4) | A m | = | A | m

  37. 四、分块矩阵 　　　　　　如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。 1. 定义

  38. 例如： A11 A12 A21 A22

  39. 例8：设 利用分块矩阵求 A+B，AB。

  40. 解：将A、B分块成

  41. 则 而 故

  42. 而

  43. 故

  44. 对于 有 2. 分块矩阵的转置 考察： AT

  45. 注：设矩阵A = ( aij ) mn分块为 则

  46. 即： 0 A ( Ai 为方阵，i = 1,2,…，m) 0 3. 准对角矩阵 若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵， 定义： 则称A为准对角矩阵。

  47. 0 0 例如： 为准对角矩阵。

  48. 0 A 0 0 有 0 准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质 例如： ( Ai 为方阵，i = 1,2,…，m)

  49. §2 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 定义 1 (1) 互换两行 ( 记作 ri rj); (2) 以数   0 乘以某一行( 记作 × ri); (3) 将第 j行各元素乘以数后加到第 i行的对应元素上去 (记作ri +  rj ) 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r换成 c。

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