2.1 素数和数的互素 初等数论研究的基本对象是整数集合和自然数集合 ; 整数集合 Z={0, ± 1, ± 2, ± 3,……} 自然数集合 N={1,2,3,4,……} - PowerPoint PPT Presentation

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2.1 素数和数的互素 初等数论研究的基本对象是整数集合和自然数集合 ; 整数集合 Z={0, ± 1, ± 2, ± 3,……} 自然数集合 N={1,2,3,4,……}

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  1. 2.1 素数和数的互素 初等数论研究的基本对象是整数集合和自然数集合; 整数集合 Z={0, ± 1, ± 2, ± 3,……} 自然数集合N={1,2,3,4,……} 自然数集合对于+和*是封闭的,而整数集合对+,*,-是封闭的 目的:研究/的封闭性,以便应用于加解/密。

  2. 2.1 素数和数的互素 2.1.1 除数和整除的概念 若b≠0且a,b,m∈Z,使得a=mb,称b整除a,记为b|a,又称b为a的除数(因子)。若不存在整数m使得a=mb,则称b不能整除a。 例:24的因子是1,2,3,4,6,8,12,24 几个性质: 如果a|1,则a= ±1; 如果a|b且b|a,则a= ±b; 任何b ≠0能整除0; 如果b|g,而且b|h,则对任意整数m和n,有b|(mg+nh)

  3. 2.1 素数和数的互素 2.1.2 素数(质数)的概念 整数p>1被称为素数,是指p的因子仅有±1, ±p 算术基本定理 任何大于1的整数a,都能被因式分解为:a=p1a1p2a2…ptat,这里p1>p2>…>pt都是素数,且每一个ai>0。 例:91=13×7;11011=13×112×7;12=3×22

  4. 2.1 素数和数的互素 2.1.3 最大公约数 若a,b,c∈Z,如果c|a,c|b,称c是a和b的公约数。 正整数d称为a和b的最大公约数,如果它满足:1)d是a和b的公约数;2)对a和b的任何一个公约数c,有c|d,记为:d=gcd(a,b)。注意: 第2)指出了其它约数都是最大公约数的因子,这一点可以从: a=p1a1p2a2…ptat, , b=q1b1q2b2…qfbf , c=rimin(ai,bi)…rjmin(aj,bj)看出(这里ri=pm=qn)。例如gcd(8,12)=4,其它约数2,1都是4的因子。 最大公约数的另外一种等价形式的定义:gcd(a,b)=max{k| k|a,k|b}

  5. 2.1 素数和数的互素 2.1.4 带余除法 命题:设a,b ∈Z,b>0,则存在惟一确定的整数q和r,使得a=qb+r (0≤r<b)。例如7=2 ×3+1;-7=-3 ×3+2 证明: 定义实数x=[x]+{x},其中[x]为x的整数部分,{x}为x的小数部分; 先证明满足条件的q和r是存在的:令q=[a/b],r=a-qb,则q和r都是整数;并且由于r/b=a/b-q={a/b},而0≤{a/b}<1,因而0 ≤r/b<1,即0 ≤r<b。 再证明q和r 是惟一确定的:如果又有整数q’和r’使得a=q’b+r’(0 ≤r’<b),则有0 ≤|r-r’|<b且r-r’=b(q’-q),即q-q’=0或q=q’,从而r=r’。

  6. 2.1 素数和数的互素 2.1.5 欧几里德算法Euclid(辗转相除法,求最大公约数的方法) a=q1b+r1=q1(q2r1+r2)+r1=…=q1(q2(…(qnrn-1+0)+…)+r1,直到rn=0为止,则gcd(a,b)=rn-1 计算机编程的方法: (1) X←a; Y←b; (2)if Y=0 return X=gcd(a,b); (3)R=X mod Y; (4)X←Y,Y←R; (5) goto (2);

  7. 2.1 素数和数的互素 2.1.5 欧几里德算法Euclid(辗转相除法,求最大公约数的方法) 例:求gcd(1970,1066) 1970=1×1066+904 1066=1×904+162 … 6=1×4+2 4=2×2+0 所以:gcd(1970,1066)=gcd(4,2)=2

  8. 2.1 素数和数的互素 2.1.5 欧几里德算法Euclid(辗转相除法,求最大公约数的方法) 引理:任意两个整数 a,b的最大公约数d可以表示成a,b两数关于整系数的线性组合,即有s,t ∈Z,使d=sa+tb。 例如gcd(180,252)=36, 252=1*180+72(72=1*252-1*180),180=2*72+36(36=1*180-2*72),72=2*36+0 gcd(180,252)=1*180-2*72=1*180-2*(1*252-1*180)=3*180-2*252 数的互素:若gcd(a,b)=1,则称a与b互素( a,b ∈ Z)

  9. 2.2 模运算 2.2.1 整数同余 定义:如果(a mod n)=(b mod n),则称整数a和b模n同余,记为a≡b mod n,这里n为正整数。 整数同余关系是一种等价关系,满足三个性质: 自反性 对称性 传递性

  10. 2.2 模运算 2.2.2 模运算的操作与性质 [(a mod n) ±×(b mod n)] mod n=(a±×b) mod n 例:求117 mod 13

  11. 2.2 模运算 2.2.3 幺元e(单位元)和零元θ 若e⊙x ≡x ⊙e ≡x (mod n),则称e为⊙模运算的幺元;例如,0是Z集合中+或-模运算的幺元。 若θ⊙x ≡x ⊙ θ≡ θ(mod n),则称θ为⊙模运算的零元;例如,0是Z集合中*模运算的零元。

  12. 2.2 模运算 2.2.4 可逆元(相反数) 若x⊙y ≡e (mod n),则称x(y)可逆,其逆元为y(x)。 例如: 1+7 ≡0(mod 8),则1的逆元为7,记为1-1=7 (mod 8); 3*3 ≡1(mod 8),则3的逆元为3,记为3-1=3 (mod 8); 在此基础上可定义除法运算:3/3=3*3-1=3*3 ≡1 (mod 8) 注意:集合{0,1,2,3,4,5,6,7}上的*运算,并不是每个元素都有逆元。

  13. 2.2 模运算 2.2.5 整数环和剩余类环 Z是整数环,其运算+、*满足封闭性、交换律、结合律和分配律; 整数环Z模正整数n得到的剩余类集合Zn( 或Z/(n))称为剩余类环,即Zn={[0],[1],[2],…,[n-1]} 在剩余类环中,存在两类元素: 零因子:若α,β ∈Zn且α,β ≠[0],有α*β≡[0] (mod n) 可逆元因子:若α,β ∈Zn,有α*β≡[1] (mod n) 例如:Z8的零因子有:[0],[2],[4],[6],可逆元因子有:[1],[3],[5],[7] 问题:可逆元因子有何特征?其个数有多少?

  14. 2.2 模运算 可逆元因子特征定律: 剩余类环Zn中元素a=[a]为可逆元因子当且仅当gcd(a,n)=1(即a与n互素) 证明: (1)充分性: gcd(a,n)=1=> a为可逆元因子。由gcd(a,n)=1根据欧几里德引理有:1=sa+tn, 1 =(sa+tn) mod n, 1 ≡sa mod n,即a的逆元为s,a为可逆元因子; (2)必要性:a为可逆元因子=>gcd(a,n)=1。sa ≡1 mod n,即sa=tn+1,所以gcd(a,n)=1

  15. 2.2 模运算 欧拉函数(Euler φ(n),可逆元因子的个数) 定义: 当n=1时,φ(1)=1; 当n>1时, φ(n)的值为Zn集合中与n互素的元素的个数 例如: φ(8)=4, φ(24)=8 若p 为素数,则φ(p)=p-1; 若p、q为不同的素数,则φ(pq)=(p-1)(q-1)=φ(p)φ(q) 若p 为素数,则φ(pp)=p(p-1); 若ab≡ac(mod n)且gcd(a,n)=1,则b≡c (mod n)

  16. 2.3 几个重要定理 2.3.1 费马定理(Format formula) 如果p为素数, a是任意一个正整数,a不能被p整除(此时gcd(a,p)=1),则有ap-1≡1(mod p) 2.3.2 欧拉定理(Euler formula) 对任意互素的整数a和n,有a φ(n) ≡1(mod n) 注意: 费马定理是欧拉定理的特例; 在RSA 加密算法中,并没有要求整数a和n(n=pq,p和q为素数)互数,但也有a φ(n) ≡1(mod n)这样的结论成立。

  17. 2.4 RSA算法原理 设p,q为大素数(n=pq, φ(n) =(p-1)(q-1)), a,b为满足ab ≡1(mod φ(n) )的两个整数,则: 公钥为:(n,b),私钥为(p,q,a) 加密过程:对信息x(x<n),密文y=xb mod n 解密过程:对密文 y, 还原明文x=ya mod n