§6.5 线性子空间

1. §6.5 线性子空间 • 有时一个线性空间的非空子集也构成一个线性空间___线性子空间. 如:线性空间Pnn中对称矩阵的全体也构成数 域P上的一个线性空间(n(n+1)/2维); 线性空间R3中通过原点的平面也构成数域 R上的一个线性空间(2维).

2. 平凡子空间 1.线性子空间的定义 • 设W是数域P上线性空间V的一个非空子集,如果 W对V的两种运算(加法与数量乘法)也构成一个线 性空间,则称W为V的一个线性子空间,简称子空间. 显然, V本身是V 的一个线性子空间; {0}是V 的一个线性子空间. 2.线性子空间判别法 定理:数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的 一个子空间的W对V的两种运算(加法与数量乘法) 封闭,即

3. 推论:数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的一个子空间的推论:数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的一个子空间的 例1 系数在数域P中的齐次线性方程组Amnx=0的解 的全体 S={ Amn =0, Pn} 构成Pn的子空间. Amnx=0的解空间

4. 3.生成子空间 定理: (i)两个向量组生成相同子空间的是这两个向 量组等价;(ii)dim L(1, 2,…,r)=秩(1, 2,…,r). 4.基扩充定理 • 设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间, 1, 2,…,m是W的一组基,则该向量组必可扩充为整 个空间的基. 即在V中必有向量m+1,m+2,…,n使得 1, 2,…,m ,m+1,m+2,…,n是V的一组基.

5. 证明：对维数差n-m作归纳法. 当n-m=0时,1, 2,…,m已是V的基, 定理成立. 假设n-m= k时结论成立,下证n-m= k+1时结论也 成立. 由于1, 2,…,m线性无关, 且不是V的基, 故而 有m+1V不能被1, 2,…,m线性表示, 因此1, 2, …,m ,m+1线性无关. 此时 维L(1, 2,…,m ,m+1)=m+1, n-(m+1)=(n-m)-1=k+1-1=k, 由归纳法假设, L(1, 2,…,m ,m+1)的基1, 2, …, m ,m+1可扩充为整个空间的基.

6. 例2 在P4中求由向量i (i=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数. 解：由 知向量组i (i=1,2,3,4)的秩为3, 且1,2 ,4线性无关， 因此 dimL(1, 2, 3 ,4)=3; 1,2 ,4为L(1, 2, 3 ,4) 的一组基.