גיאומטריה לכיתה ח' משפט פיתגורס

1. גיאומטריה לכיתה ח'משפט פיתגורס

2. משפט פיתגורס -טעימות, עמ' 217 לפניכם סרטוט של מרובעים צבעוני המונח על שריג ריבועי, שבו אורך צלע של כל ריבוע הוא 1 ס"מ. בתוך הריבוע חסום מרובע. כל הקטעים האדומים בסרטוט שווים זה לזה באורכם וכל הקטעים הירוקים שווים זה לזה באורכם. מהו סוג המרובע החסום בריבוע?

3. 6 5 6 5 6 5 5 6 5 6 5 5 ג ב א 5 6 6 6 5 6 6 5 5 6 6 5 7 6 6 4 5 5 4 5 5 7 7 6 ו ה ד 4 4 5 7 6 6 7 4 7 4 6 5 6 5 7 4 ז 7 4 5 6 משפט פיתגורס -טעימות, עמ' 218

4. 4 6 4 6 6 4 6 4 משפט פיתגורס -טעימות, עמ' 217 מהו שטחו של הריבוע הירוק?

5. 4 6 4 6 6 4 6 4 משפט פיתגורס -טעימות, עמ' 219 • סרטטו ריבוע שאורך צלעו 10 ס"מ. חלקו כל צלע לשני קטעים: האחד באורך 2 ס"מ והשני באורך 8 ס"מ, כך שהמרובע הפנימי שיתקבל ע"י חיבור הנקודות שנוצרו- יהיה ריבוע. חשבו את שטח הריבוע הפנימי שבניתם. • חקרו מה קורה כשמחלקים את צלע הריבוע (החיצוני) לשני קטעים שווים, שאורך כל אחד מהם 5 ס"מ. חזרו על התהליך בסעיף ג. • עבור איזה מהמקרים שבדקתם בסעיפים ג-ה, שטח הריבוע הפנימי שנוצר הוא הקטן ביותר?

6. משפט פיתגורס משולש ישר זווית וריבוע הבנוי על היתר שלו נבנה ריבועים גם על שתי הצלעות האחרות (הניצבים) של המשולש ישר הזווית מהו שטח הריבוע הירוק? מהו הקשר בין שטחי שלושת הריבועים? מהו שטח הריבוע האדום? מהו שטח הריבוע הכחול?

7. משפט פיתגורס מהו שטח הריבוע הירוק? מהו הקשר בין שטחי שלושת הריבועים? מהו שטח הריבוע האדום? מהו שטח הריבוע הכחול?

8. 3 7 10 10 משפט פיתגורס - הצדקה מתמטית, עמ' 234 4 משולשים ישרי זווית חופפים 10 3 3 10 7 7 3 7 3 7 כיצד פעילות זו מצדיקה באופן מתמטי את משפט פיתגורס?

9. b b a a c a a a a2 c b c a2+b2 c b c b b2 b c a a a b b משפט פיתגורס- הצדקה מתמטית, עמ' 235 ובהכללה: c c c a

10. מפגש חוזר - לקראת חישוב אורכי צלעות, עמ' 236-237 • מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו 9 סמ"ר? • מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו 144 מ"ר? • מהו אורך הצלע של ריבוע ששטחו 2.25 סמ"ר? < ___ ___ < דוגמאות - חישוב אורך היתר, בהינתן אורכי שני הניצבים - חישוב אורך ניצב, בהינתן אורך היתר ואורך הניצב השני

11. 1 1 1 1 x3 x2 x4 x1 x5 1 1 x6 1 משפט פיתגורס, עמ' 239 • לפניכם "מניפה" של משולשים ישרי זווית. בכל אחד מהם יש צלע שאורכה 1 ס"מ. • מצאו קטעים שהם גם ניצב וגם יתר. • כמה קטעים כאלה מצאתם? • מצאו את אורך הצלע x2. • מצאו את אורך הצלע x6. • אתגר: • מצאו את אורך הצלע xn כפל תפקידים הכללה

12. עמ' 242 • ABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים שאורך כל ניצב הוא 5 ס"מ. מצאו משולש ישר זווית אחר, DEF, שאורך היתר שלו הוא כאורך היתר של משולש ABC, ואורכי הניצבים שלו הם מספרים שלמים. • במרובע ABCD יש זוג זוויות נגדיות שכל אחת ישרה. אורכי הצלעות של המרובע הם מספרים שלמים של ס"מ. מה יכולים להיות אורכי הצלעות של המרובע? מצאו לפחות 6 מרובעים כאלה.

13. צפון מערב מזרח דרום משפט פיתגורס ובעיות מילוליות- עמ' 242 חברה המתמחה בייצור מכוניות חשמליות ערכה ניסוי בארבע מכוניות. ארבעתן יצאו מאותה נקודה יציאה באותו הזמן. כל אחת נסעה לכיוון אחר: המכונית הכחולה נסעה לכיוון צפון במהירות 40 קמ"ש; המכונית הכתומה נסעה לכיוון מזרח במהירות 50 קמ"ש; המכונית הצבעונית נסעה לכיוון דרום במהירות 35 קמ"ש, והמכונית האדומה נסעה לכיוון מערב במהירות 60 קמ"ש.  שאלה מילולית אינטגרטיבית • כעבור שעה, מה היה המרחק בין המכונית האדומה לבין כל אחת מהמכוניות האחרות? • כעבור שעה, בין אילו שתי מכוניות היה המרחק הגדול ביותר? הסבירו. • כעבור שעה משעת היציאה של יתר המכוניות, הצטרפה מכונית חמישית לניסוי. מכונית זו נסעה מכיוון דרום לנקודת היציאה של ארבע המכוניות. המרחק ההתחלתי בין המכונית החמישית לבין המכונית שנסעה למזרח היה 130 ק"מ. מה המרחק בין מכונית זו לבין נקודת היציאה של יתר המכוניות? • המכונית החמישית נוסעת במהירות של 80 קמ"ש. כמה זמן ייקח לה להגיע לנקודה ממנה יצאו ארבעת המכוניות?

14. B D 300 A C משפט פיתגורס ובעיות מילוליות- עמ' 243 שחיין שוחה במהירות קבועה בנהר שרוחבו 300 מ'. בסרטוט המוקטן שלפניכם מתואר המסלול אותו עבר השחיין (החל מהנקודה A ועד לנקודה D, וחזר מהנקודה D לנקודה A בקו ישר). המרחק מהנקודה A לנקודה B הוא 500 מ'.המרחק מהנקודה A לנקודה C הוא 560 מ'.המרחק מהנקודה B לנקודה D הוא 285 מ'. מה המרחק אותו עבר השחיין?

15. מוט שטיח אדום 100מ' משפט פיתגורס ובעיות מילוליות- עמ' 244 בטקס חלוקת פרס נובל לפיזיקה תוכנן מסלול בן 100 מ', שעליו יפרסו שטיח אדום. לאחר שפרסו את השטיח התברר שבטעות נגזר שטיח שאורכו 101 מ'. היות ולא ניתן היה לקצר את השטיח, הוחלט לבנות מוט באמצע המסלול ולהניח על המסלול את השטיח באופן הבא: • מבלי לבצע חישובים ענו על השאלה הבאה: האם, לדעתכם, מנוף שגובהו 10 מ' יצליח לעבור מתחת לשטיח? האם בן אדם יצליח לעבור מתחתיו? האם חתול יצליח לעבור מתחתיו? האם עכבר יצליח לעבור מתחתיו? האם יתוש יצליח לעבור מתחת לשטיח? • חשבו את אורך המוט שיש לבנות, ובדקו האם ניחשתם תשובה נכונה בסעיף א. • האם לדעתכם הפתרון המוצע הוא הגיוני? מפתיע?

16. משפט פיתגורס - עמ' 246 32. משולש KLM הוא משולש שווה שוקיים, אשר אורך כל אחת משוקיו הוא 13 ס"מ, ואורך הבסיס שלו 10 ס"מ. א. מצאו את שטח המשולש. ב. מצאו משולש שווה שוקיים נוסף, השווה בשטחו לשטח המשולש KLM, שאורך שוקיו 13 ס"מ, אך בסיסו אינו באורך של 10 ס"מ. ג. האם קיימים משולשים שווי שוקיים נוספים השווים בשטחם לשטחו של המשולש ABC,שאורך שוקיהם 13 ס"מ, אך בסיסם אינו באורך של 10 ס"מ? הסבירו. ד. משולש PRS הוא משולש שווה שוקיים, אשר אורך כל אחת משוקיו הוא 20 ס"מ, ואורך הבסיס שלו 12 ס"מ. מצאו משולש שווי שוקיים נוסף, השווה בשטחו לשטח המשולש PRS, אך בסיסו אינו באורך של 12 ס"מ. מהו הקשר בין בסיסי המשולשים הללו לבין הגבהים שלהם?

17. A A 13 13 13 13 12 5 B C B C D 5 5 D 12 12 10 24 משפט פיתגורס - עמ' 246 ג. האם קיימים משולשים שווי שוקיים נוספים השווים בשטחם לשטחו של המשולש ABC,שאורך שוקיהם 13 ס"מ, אך בסיסם אינו באורך של 10 ס"מ? הסבירו.

18. משפט פיתגורס - עמ' 246 • נתון מלבן הבנוי משורה של שני ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא: • מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום אורכי שני האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים. • ידוע כי היקף המלבן 120 ס"מ. חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד מהריבועים. האם צדקתם בהשערתכם?

19. משפט פיתגורס - עמ' 246 נתון מלבן הבנוי משורה של שני ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא: ריבוי דרכי פתרון

20. משפט פיתגורס - עמ' 246 • נתון מלבן אחר הבנוי משורה של 3 ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא: • מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום אורכי שלושת האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים. • ידוע כי היקף המלבן 160 ס"מ. חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד מהריבועים. האם צדקתם בהשערתכם?

21. משפט פיתגורס - עמ' 246 נתון מלבן אחר הבנוי משורה של 3 ריבועים חופפים צמודים, כמו בסרטוט הבא:

22. משפט פיתגורס - עמ' 246 • יוצרים מלבן משורה של 4 ריבועים חופפים הצמודים זה לזה, כמו הריבועים בסעיף ב. • מה, לדעתכם, גדול יותר: אורך אלכסון המלבן או סכום אורכי ארבעת האלכסונים של הריבועים? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים, ולאחר מכן בדקו את תשובתכם בעזרת חישובים מתאימים, אם ידוע שאורך הצלע בכל ריבוע הוא 20 ס"מ. • האם תוכלו להכליל את התופעה עבור מלבן הבנוי ממספר כלשהו של ריבועים חופפים הצמודים זה לזה, כמו בסרטוטים הקודמים? הכללה

23. y A F E C B O x D משפט פיתגורס - עמ' 247 • בסרטוט שלפניכם נתונים גרפים של שלוש הפונקציות הבאות: • f(x) = 2x + 10 • g(x) = -x + 4 • h(x) = x - 4 • התאימו כל אחת מהפונקציות לתיאור הגרפי שלה. • A , B, C, D, E הן נקודות חיתוך של הגרפים עם הצירים. מצאו את שיעורי הנקודות הללו. • הנקודה F היא נקודת חיתוך של הגרפים של שתיים מהפונקציות. מצאו את שיעורי הנקודה. • מצאו את שטחם של המשולשים הבאים: EDC ; AFE ; BFC • מצאו את אורכי הקטעים הבאים: AB ; CD ; AF ; FC שאלה אינטגרטיבית – פונקציה קווית ופיתגורס

24. D A 3.75 C B 2.25 4 משפט פיתגורס - עמ' 248 • בסרטוט שלפניכם (מוקטן) נתון משולש ישר זווית BAC ובו AD הגובה ליתר. • האורכים של חלק מהצלעות נתונים בס"מ. • מצאו את האורך של AD. • מצאו בסרטוט שלושה משולשים דומים ורשמו את הדמיון בהתאמה. • מצאו את יחס הדמיון בין כל שני משולשים דומים. • מצאו את אורך הצלע AB בשתי דרכים שונות והשוו בין התוצאות. שאלה אינטגרטיבית – פיתגורס ודמיון

25. משפט פיתגורס - עמ' 248 ריבוי דרכי פתרון - שלוש דרכים שונות • במשולש ישר זווית אורך אחד הניצבים הוא 15 ס"מ ואורך הניצב השני הוא 20 ס"מ. • מה אורך הגובה ליתר? • מצאו את אורך הגובה ליתר בדרך נוספת (היעזרו בחישוב שטח המשולש).

26. אפשר לראות דף משובץ הבנוי ממשבצות ריבועיות, כרשת של ישרים ונקודות מפגש שלהם: לנקודות, שהן קודקודי המשבצות, קוראים פינות. לישרים קוראים קווי הרשת. אורך הצלע של משבצת הוא 1 יחידת אורך. שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת"- עמ' 250 מצאו את היקף המצולע שברשת הבאה:

27. שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת"- עמ' 250 מצאו את היקף המצולע שברשת הבאה: הכנה לשאלה הבאה

28. A B E C D שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 בדף משובץ מצויר מחומש (לא משוכלל) ABCDE. איזה מאלכסוניו הוא הארוך ביותר?

29. שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 בדף משובץ מצויר מחומש (לא משוכלל) ABCDE. האלכסון AD הוא הארוך ביותר. להלן אורכי האלכסונים:AC2 = 32 , AD2 = 36 , BD2 = 34 , BE2 = 17 , CE2 = 29 את אורכי הקטעים האלה ניתן למצוא לפי משפט פיתגורס, בעזרת משולשים ישרי זווית שהניצבים שלהם נמצאים על קווי הרשת והיתר הינו האלכסון (למעט אלכסון AD). A B E C D אפשר גם אחרת A B E C D

30. שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • האם אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר זווית העונה על כל הדרישות הבאות: • כל הקודקודים שלו נמצאים על פינות הרשת; • אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת; • האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים שלמים. • אם אפשר - סרטטו מקרה אחד לפחות והסבירו מדוע הוא עונה על הדרישות. חשוב להצדיק איך יודעים שהמשולש שסרטטתם הוא אמנם משולש ישר זווית. • אם אי אפשר - הסבירו מדוע.

31. שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר זווית העונה על כל הדרישותהבאות: • כל הקודקודים שלו נמצאים על פינות הרשת; • אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת; • האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים שלמים. • שימו לב, השאלה היא שאלת קיום ולכן מספיקה דוגמה אחת אופן הבנייה של המשולש: בונים קטע באורך שלם (מענה לתנאי השלישי). בוחרים לדוגמה את השלשה הפיתגוראית 3,4,5, שתבטיח לנו צלע שהיא באורך שלם והקטע לא על קווי הרשת.

32. A B C שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • שאלות לדוגמה לתלמידים: • הזווית בין הקטע האדום והקטע הכחול שסרטטנו היא 900. כיצד אנו יודעים? • האם המשולש ישר הזווית שהתקבל מתאים לדרישות? מתקבל משולש ישר זווית שצלעותיו הם מספרים שלמים: הניצב AB – 15; הניצב AC – 20 ; והיתר BC – 25.הקודקודים נמצאים על פינות הרשת, אך אף אחת מהצלעות לא נמצאת על קווי הרשת.

33. A E F B C G שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 למתעניינים: אם נתבונן היטב בסרטוט נראה כי המשולש בנוי משלושה יתרים של שלושה משולשים ישרי זווית (המשולשים בצבע תכלת בסרטוט). נבחן את מידותיהם. משולש :ABE 9 , 12, 15; משולש:ACF 12, 16, 20; משולש BCG: 7, 24, 25; למתעניינים מאוד: כדאי לחקור ולגלות כי כל שלשה פיתגוראית שניקח ונרחיב אותה על ידי הכפלה באורך היתר, נקבל משולש ישר זווית שעונה על הדרישות.

34. A L D M K C B N שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 נתון ריבוע ABCD בעל צלע באורך 1 ס"מ.העבירו מקביל KM לצלע AD ומקביל LN לצלע AB. היקף המשולש KAL הוא 1 ס"מ. מה שטח המשולש MCN?

35. L D a b c A bc b b2 ab b O M K a a2 ac a ab ac c bc c2 c B C N a b c שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 שטח המשולש MCN הוא . נסמן את הניצבים של המשולש KAL ב- aו-b ואת היתר ב-c. מהנתון נובע כי a+b+c = 1, כלומר, אפשר לחלק את צלע הריבוע לשלושה קטעים, האחד באורך a, השני באורך b, והשלישי באורך c. לכן אפשר לחלק את הריבוע ABCD כפי שמתואר בציור. אפשר להראות ששטח המלבן OMCN שווה למחצית שטח הריבוע הנתון ABCD. שטח המשולש המבוקש MCN, שווה למחצית שטח המלבן OMCN, ולכן שטחו הוא .

36. שאלת העמקה מאתגרת במיוחד מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • נתון משולש ישר זווית (לא שווה שוקיים). • העבירו את התיכונים במשולש. • מבין שני התיכונים לניצבים, איזהו הארוך יותר - התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך? • הראו שהתיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר מבין שלושת התיכונים. • אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא 6 ס"מ, מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים.

37. A b c B C a שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • נתון משולש ישר זווית (לא שווה שוקיים). העבירו את התיכונים במשולש. • א. מבין שני התיכונים לניצבים - התיכון לניצב הקצר ארוך יותר מהתיכון לניצב הארוך. • מסמנים את הניצב הקטן ב- a , את הניצב הגדול ב-b ואת היתר ב-c . דרך א': ריבוע אורך התיכון לניצב הקטן הוא: ריבוע אורך התיכון לניצב הארוך הוא:

38. A b c B C a שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 דרך ב':

39. A b c B C a שאלות העמקה מתוך הספר "אפשר גם אחרת" - עמ' 250 • ג. התיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר מבין שלושת התיכונים.לפי המשפט, התיכון ליתר שווה למחצית היתר. • כלומר אורך התיכון ליתר הוא . • ולכן ריבוע היתר מקיים:

40. שאלות העמקה - עמ' 250 • נתון משולש ישר זווית (לא שווה שוקיים). • העבירו את התיכונים במשולש. • מבין שני התיכונים לניצבים, איזהו הארוך יותר - התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך? • הראו שהתיכון ליתר הוא התיכון הקצר ביותר מבין שלושת התיכונים. • אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא 6 ס"מ, מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים.

41. העמקה - משפט פתגורס - עמ' 263 • מצאו את שטחם של המשולשים והריבועים אותם צייר הרמס. • עבור כל אחד משלושת המשולשים הנ"ל מצאו את היחס בין שטח המשולש, שטח הריבוע הבנוי של הניצב, ושטח הריבוע הבנוי על היתר? • נסו להכליל: בהינתן משולש ישר זווית ושווה שוקים כלשהו, מהו היחס בין שטח המשולש, שטח הריבוע הבנוי של הניצב, ושטח הריבוע הבנוי על היתר. כלומר, הגדירו את אורך ניצב המשולש כ- x, ומצאו את השטחים של שלוש הצורות, והיחסים ביניהן. משולשים מעניינים – משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים ומשולשים 90° 60° 30°

42. העמקה - משפט פתגורס - עמ' 263 • מצאו את שטחם של ארבעת משטחי הזהב: המשולש ושלושת הריבועים, וגלו מה הייתה תשובתו של הנסיך אפולו. • איזה קשר מתקיים בין שטחם של שלושת הריבועים? • בנו שלושה ריבועי זהב הנוצרים באופן דומה על משולשים ישרי זווית שאורך צלעותיו הן5 ס"מ, 12 ס"מ ו- 13 ס"מ. מצאו את שטחי ריבועי הזהב. האם הקשר שמצאתם בסעיף הקודם מתקיים גם כאן? • האם הקשרים שמצאתם בשאלות הקודמות מתקיימים עבור כל שלושה ריבועים הבנויים באופן דומה על משולשים ישרי-זווית שונים? אם כן - הסבירו מדוע קשר זה מתקיים. אם לא - ציירו משולש ישר זווית עבורו קשר זה איננו מתקיים.

43. A E B H F D G C העמקה - משפט פתגורס - עמ' 265 • בתוך שטח אדמה ריבועי ABCD, שאורך צלעו 20 מ' נבנתה בריכה EFGH, שקודקודיה מונחים על אמצעי צלעות הריבוע. את הבריכה מקיפים שטחי דשא שצורתם ארבעה משולשים חופפים (ראו סרטוט משמאל). • מהו שטח הבריכה? • מהו שטח הדשא המקיף את הבריכה?

44. 7 ס"מ 30 30 העמקה - משפט פתגורס - עמ' 265 מצאו את שטחו של המלבן המופיע בסרטוט המוקטן שלפניכם.

45. משפט פיתגורס מה נקבל אם נבנה על כל אחת מהצלעות משולשים שווי צלעות? מה נקבל אם נבנה על כל אחת מהצלעות מחומשים משוכללים? משושים משוכללים? מה נקבל אם נבנה על כל אחת מהצלעות חצי מעגל? אם בונים ריבועים על הצלעות של משולש ישר זווית, סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.