Пределы последовательностей и функции

1. Пределы последовательностей и функции { предел последовательности - число e - оценка – пределфункции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый и второй – бесконечно малые величины и их свойства- сравнение бесконечно малых величин - теоремы о бесконечно малых величинах – примеры }

2. Предел последовательности Пусть – произвольное множество и пусть каждому поставлен в соответствие некоторый элемент . Тогда говорят, что задана последовательность которая обозначается также символами Пример Число называется пределом последовательности, если для

3. Предел последовательности Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если Теорема Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно. Доказательство Тогда для так что Пусть последовательность сходится и . c Очевидно, что Пусть

4. Предел последовательности Свойства пределов(связанные с арифметическими операциями) Если то Сумма, разностьи произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями Последовательность называется бесконечно малой, если Последовательность называется бесконечно большой, если

5. Число e eиногда называют неперовымчислом Ряд сходится или числом Эйлера John Napier (1550 – 1617) c Leonhard Euler (1707 – 1783)

6. Число e Доказательство Теорема c

7. Оценка числа e Числоe- иррациональное Допустим e– число рациональное, тогда Согласно предположению q!e– целое число. Тогда число q!(e-sq)тоже целое. Так как q >= 1, то выходит существует целое число между нулем и единицей ! Мы добились противоречия. c

8. Предел функции Определение (по Коши) Бесконечно малая величина lim u = 0 Постоянное число A называется пределом функции f(x)в точке x0( при xстремящемся кx0 ) если для произвольного числа e > 0 найдется число d(e) > 0 такое, что из условия | x – x0 | < d(xне равно x0 ) вытекает неравенство | f(x) – A | < e. Переменная величина u называется бесконечно малой, если, каково бы не было малое положительное числа e > 0 ,в процессе изменения переменной наступит момент, начиная с которого будет постоянно выполняться неравенство | u | < e. Определение (в кванторах) y = f(x) A 2e y x0 2d 0 x

9. Пример @ Доказать, что предел Решение Требуется доказать | ax – 1 | < eпри | x | < d(e) логарифмируем последние неравенства по основанию a(a > 1 )

10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины Теорема 1. Алгебраическая сумма любого определенного числа бесконечно малых является величиной бесконечно малой. Теорема 2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную величину является величиной бесконечно малой. Доказательство Пустьa – бмв, a u– ограниченная переменная величина. что и доказывает теорему. Следствия: Функцияf(x)называетсябесконечно большой в точке a ()если

11. Связь между пределами и бесконечно малыми величинами Теорема 1. (прямая) Теорема 2. (обратная) Если переменная величина uстремится к пределуa, то разность между нею и ее пределом есть величина бесконечно малая. Если переменная величинаuравна сумме некоторой постоянной величины A и величины бесконечно малойa, то эта постоянная есть предел переменной. Доказательство Пусть a = lim u. Это значит, что при всяком e > 0, будет справедливо неравенство | u - a | < eпри достаточном продолжении изменения u.Но тогда величина u – aесть величина бесконечно малая. Пример:

12. Теоремы о пределах Переменная величина может иметь только один предел. Переменная величина, имеющая предел, является величиной ограниченной. Предел алгебраической суммы любого числа переменных равен алгебраической сумме их пределов. Предел произведения любого определенного числа переменных равен произведению их пределов. Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента она принимает значение того знака, каков знак ее предела. Если предел переменной величины отличен от нуля, то величина ей обратная, является ограниченной величиной. Предел частного двух переменных равен частному от деления их пределов, если предел делителя отличен от нуля.

13. Признаки существования Теорема 1. Теорема 2. Если числовые значения переменной величины vпостоянно заключены между соответствующими числовыми значениями двух других переменных u и wи эти последние стремятся к одному и тому же пределу a , то к этому же пределу a стремится и переменная v. Всякая монотонно изменяющаяся и ограниченная в направлении своего изменения величина имеет предел. Доказательство ведется на основе теоремы Дедекинда. u v A w y x 0

14. Замечательные пределы – первый замечательный предел Рассмотрим единичную окружность. y Функцияпри имеет предел, равный 1: y 1 Неопределенность D x x C Сравнивая площади треугольника OAC, сектора OBC и треугольника OBD, получаем A 0 B

15. Пример @ Найти предел Решение

16. Замечательные пределы – второй замечательный предел Функцияприимеет предел, равный e : Величинуxзаключим междуnиn+1 Неопределенность Пусть По второй теореме (признак существовании пределов): Придоказывается то-же самое.

17. Пример @ Найти предел Решение

18. Сравнение бесконечно малых величин Если предел отношения двух бесконечно малых a иb равен нулю Если предел отношения двух бесконечно малых есть число, отличное от нуля Пример: тоaиbназываютсябесконечно малыми одного порядка малости.. тоaназываютсябесконечно малой более высокого порядка малости, чем b. sin 2x и7x- бесконечно малые одного порядка малости Пример: 1-cosx - бесконечно малая более высокого порядка, чем x ..

19. Сравнение бесконечно малых величин Если отношения двух бесконечно малых aиbявляется величиной бесконечно большой, то aназываетсябесконечно малой более низкого порядка малости, чем b. Пример: tg x - бесконечно малая более низкого порядка, чем x2. Если предел отношения двух бесконечно малых aиbне существует (ни конечный, ни бесконечный),aиbназываютсянесравнимымибесконечно малыми. a = sinx.sin(1/x) иb =x- несравнимые бесконечно малые. Пример: y x

20. Сравнение бесконечно малых величин Если предел отношения двух бесконечно малых a и bравно 1, то a и b называется равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми . Символическое обозначение: a~b Две бесконечно малые aи b, равносильные порознь третей бесконечно малой g , равносильны между собой. a~ g V b~ g -> a~ b . Разность двух равносильных бесконечно малых a– bявляется бмв более высокого порядка малости, чем каждая из них. Lim (a- b )/ a= 0 ,Lim (a- b )/ b = 0 Если разность двух бесконечно малых a– bесть бмввысшего порядка по сравнению с одной из них, то они равносильны. Lim (a- b )/ a= 0-> a~ b . Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене этих бесконечно малых им равносильными. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков равносильна слагаемому низшего порядка малости (если оно единственно).

21. Пример @ Найти предел Решение