复变函数论

1. 复变函数论 主讲：王明华

2. §1：解析函数的概念与C-R方程 §3：初等多值函数 第二章 解析函数 1、复变函数的导数与微分 1、根式函数 2、Cauchy-Rieman方程 2、对数函数 3、一般幂函数与一般指数函数 3、解析函数概念 4、反三角函数 4、解析函数简单性质 5、具有多个有限支点的情形 §2：初等解析函数 1、指数函数 2、三角函数与双曲函数

3. 定义1：设 是在区域D内确定的单值函数，并且， 如果极限 存在，为复数a，则称 在 处可导或可微，极限a称为 在 处的导数（微商），记作 ，或 或 。 注1： 的方式是任意的 注2： 若 在z处可导，则 为 在z处的微分。记为 即 。 注3： 在z处可微 在z处连续，但反之不成立。 在复变函数中，处处连续但处处不可微的函数是随手可得，而实函数则不然。 定义2：若 在D内处处可微，则 在D内可微。 §1 解析函数的概念与C-R方程 1、复变函数的导数与微分

4. 解：显然 在 z 平面处处连续。但是 由于 ，故 不存在，从而 在 z 平面处处不可微。 例2：证明 在 平面可微，且 。 在 定理1（可微的必要条件）：若 处可微，则 例1：讨论 在z平面的连续性与可微性。 2） 在 在 满足： ——Cauchy-Rieman方程 存在 1） 证明：（略） 2、Cauchy-Rieman方程 证明：（略）

5. 注4：若 可导，则 定理2（可微的充要条件）：若 在 处可微 在 可微且满足C –R方程。 证明：（必要性）设 在 有导数 ，根据导数的定义，当 （ ） 时 其中， 。 比较上式的实部与虚部，得 注5：C –R方程是可微的必要条件，而非充分条件。（P53,例2.6） 因此，由实变二元函数的可微性定义知，u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有 因此，柯西-黎曼方程成立。

6. 设 则由可微性的定义，有： 令 ，当 时，有 令 ，则有 所以， 在点 可微的。 推论（可微的充分条件）：设 在 处满足 （充分性）设u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

7. 1) 在 连续 在 2) 满足C –R方程。 在 则 处可微 例3：证明 在 满足C –R方程，但不可微。 定义3：若 在区域D内可微，则称 为区域D内的解析函数，或称 在区域D内解析。 定义4：若 在 的某领域内解析，则称 在 解析。 上解析是指 在包含 的某区域解析。 注8： 在闭区域 D 证明：（略） 3、解析函数概念 注6：解析函数与相伴区域密切联系的。 注7：函数在区域内解析与可微等价，而在一点解析要比在一点可微强的多。

8. 在 定义5：若 不解析，但在 的任一领域内总有 的解析点，则 为 的奇点。 定理3：若 在区域D内解析，则 （分母不为零）也在区域D内解析，且有 定理4：（复合求导法则）：设 在z平面上的区域D内解析， ，那么复合 在 内解析，而且当 时， 平面上的区域 函数 在D内解析，并且有 4、解析函数简单性质

9. 定理5：设函数 在区域D内解析 在D内可微，且 满足C-R方程。 推论：若 在区域D内满足 1） 在区域D内连续； 2） 在区域D内满足C –R方程。 则 在区域D内解析。 1） 2） 3） 4） 例4：讨论下列函数的解析性 注9：判别函数解析的方法 1）定义；2）运算法则；3）C –R条件

10. 例5：若 ，则 证明：因为 ，从而 ，所以 在D内为常数，故 为常数。 在区域D内解析且非常数，则 例6：若 在D内不解析。 证明：（略）。

11. ： 定义：对复数 ，如下定义指数函数 1） 2） 在全平面解析，且 3） 加法定理成立即 ， 为周期的周期函数 4） 是以 5） 不存在。 注1：定义中令 得到欧拉公式： 注2： §2 初等解析函数 1、指数函数 • 1.1 定义 • 1.2 性质

12. 定义2：对复数 ，如下定义正弦函数 、余弦函数 注3：合理性：因为 ， ，所以 。 ； 在全平面解析，且有 1）、 ， ， 为偶函数。且遵从三角恒等式； 2）、 为奇函数， 3）、 以 为周期； ， 4）、 为零点， 为零点。 以 以 5）、 ， 可大于1，且可趋于无穷大（分析中 ） 注4：规定： 2、三角函数与双曲函数 2.1 定义 2.2 性质

13. 注5：规定： 注6：由定义2有： （Euler公式推广） 例：求 的值 。 解：

14. 定义1：设 。若 ，有 。则称 ， 的单叶性区域。若 在D内是单叶的，D称为 但 ，则称 在D内是多叶的。 §3 初等多值函数 I．预备知识 II．要求掌握 1）、多叶函数与多值函数的关系 2）、函数产生多值的原因 3）、如何从多值函数分出单值分支

15. 根式函数 为幂函数的 的反函数。 1） ：在 平面单值解析，把扩充 平面变成扩充z平面，是多叶的； 2） ： 在z平面多值（n值）； 平面上的n个点，分布在原点为心的正n角形顶点上）； （每一 ，对应于 3） ：令 ，则 所以 把 平面夹角为 的角形区域 变成z平面出去原点和负实轴的区域。 ……………（*） 注：（*）是 的单叶性区域的一种分法，一般，以原点为顶点，夹角不超过 的角形区域均是 的单叶性区域。 1、根式函数 1.1 幂函数的影射性质及单叶性区域 （见课本P45）

16. 1.2 分出 的单值解析分支 出现多值的原因是由于z给定后， 不唯一确定 1） 在几何上：在z平面从原点0到 任引一无界简单曲线将z平面割破， 记此区域为 G，在G内可得 的几个连续单值分支： 指定 ，因而指定数k，从而确定出 的连续单值分支。由于k取 后，其余的结果与前重复，故可确定几个连续单值分支。 2） 代数上： 注1：

17. 注5： 表示多值函数的总体，有时也用来表示某一特定分支。 定义2：若动点 绕 一周后，多值函数从一支变到另一支，即动点回到原来 位置时，函数值与原值不同，则称 为此多值函数的支点。 定义3：用来割破 平面，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数 的支割线。 1.3 的支点及其割线 注2： 以 为支点。 ， 注3：若取负实轴为支割线，而得出 不同的单值分支，对其中 为其主值支。 注4：一般割线分为两岸，每一单值分支在两岸取值不同。 如 的主值支，上岸的点 的辅角为 ，下岸的点 的辅角为 （图见课本P68）

18. 例1：设 定义在沿负实轴割破 平面上，且 求 解： ， 1）由 确定 是哪一支 2）求

19. 定义4：规定对数函数 为指数函数 的反函数。 注1：令 ， ，则 ，从而 ， 。所以 即 注2： ------ 故 的主值支； 注3：若 ，则 2、对数函数 2.1 定义

20. 1） 多值（无穷多值） 3） 一般， 把宽为 的带形区域 变成 平面除去原点和负实轴的区域。 注4：宽不超过 的带形区域均是 的单叶区域， 是单叶区域的一种分法。 2.2 性质 2）负数有对数 2.3 指数函数的映射性质及单叶性区域 (图见课本P76)

21. 2.4 分出 的单值解析分支 给定后， 不唯一确定。 1）从几何上：在 平面从原点 到 任引一条无界简单曲线将 平面割破（一 般割破负实轴），记此区域为G，则在G上可以分出 的无穷多个不同的连续 单值分支。 出现多值的原因是由于 2）代数上：指定 ，即指定 注5： 在G内解析，且 注6：以0， 为支点，支割线为连接 和 任一条无界简单曲线

22. 定义5：对复数 ，如下定义一般幂函数： 1）a为整数时， 是单值的； 是p值的； 2）a为有理数时，即 3）a为无理数或虚数时， 是无穷多值的； 4） 是多值时，其单值解析分支方法与 相同，且仍以 为支点， 且 （对单值分支）。 定义6：对复数 ，如下定义一般指数函数： 注7： 是无穷多个独立，在 平面单值解析的函数。 3、一般幂函数与一般指数函数 3.1 一般幂函数 性质： 3.2一般指数函数

23. 例1：求 解： 定义7：规定反正弦函数 为正弦函数 的反函数。 注8：因为 ，有 解出 ， 所以 例2：求 4、反三角函数

24. 证明：因为1） ，2） ，3） 4） ；5） 。 说明：由3）不能推出4）： 例4：试证 在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在 取负值的解析分支在 的值。 例5：作出一个含 的区域，使得函数 例3：Bernoulli诡论： 有 点的值。 在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在 5、具有多个有限支点的情形

25. 我们先求函数w的支点。因为 支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线 C，使其不经过0、 1、2， 并使其内区域含0，但不包含1及2。设 是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1) 及Arg(z-2)在这点的值分别为 。当z从 按反时针方向 沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到， 增加了 ，而 没有变化，于是w在 的值就从 解：由于 的支点是0及无穷远点，所以函数w可能的 连续变动到 因此0是函数w的一个支点；

26. 同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但 不包含0及2。设 是C上一点，我们确定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在这点的值分别为 。当z从 按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动 增加了 ，而 可以看到， 没有变化，于是w在 的值就从 首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为 割线，在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取 作为复平面上这样 的割线，得区域D。 连续变动到 因此，1也是函数w的一个支点； 同理，2和无穷远点也是它的支点。 支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

27. 其次，任作作一条简单连续闭曲线 ，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含 这三个点中的两个，但不包含另外一点。设 是 上一点，确定w在 的一个值， 时，连续变化而得的值没有变化。 连续变化一周回到 同样的讨论，有当z从 沿 所以，我们可以作为割线如下，取线段[0,1]及从2出发且不与[0,1]相交的射线为 割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。 例如可取[0,1]及 作为复平面上的割线，得区域 。 在z=-1，取 于是在D或 内，w可以分解成两个解析分支 求w在上述区域中的一个解析分支 在z=i的值。

28. 由于所求的分支在z=-1的值为 ，可见这个分支是 内z=i处， 由下图可以得到，在D或 因此w的所求分支在 z=i 的值是

29. 本章《完》