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关于树的谱半径与最大度

关于树的谱半径与最大度. 林文水 郭晓峰 厦门大学数学科学学院 linwensh@sina.com 2006-07-18 于南开大学. 内容提要. 图谱理论简介 符号说明 图的谱半径与最大度的关系 树的谱半径与最大度的关系 完美匹配树的谱半径与最大度的关系 一个问题 参考文献. 图谱理论简介. 图谱理论建立于 20 世纪五、六十年代，是图论的重要分支。主要结果可参见专著 [1-3] 。 早期主要研究图的谱与结构之间的关系。 图谱理论在量子化学上应用， H ü ckel 分子轨道理论实际上就是分子图的谱理论。. 符号说明. 表示图. 的邻接矩阵.

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  1. 关于树的谱半径与最大度 林文水 郭晓峰 厦门大学数学科学学院 linwensh@sina.com 2006-07-18于南开大学

  2. 内容提要 • 图谱理论简介 • 符号说明 • 图的谱半径与最大度的关系 • 树的谱半径与最大度的关系 • 完美匹配树的谱半径与最大度的关系 • 一个问题 • 参考文献

  3. 图谱理论简介 • 图谱理论建立于20世纪五、六十年代，是图论的重要分支。主要结果可参见专著[1-3]。 • 早期主要研究图的谱与结构之间的关系。 • 图谱理论在量子化学上应用，Hückel 分子轨道理论实际上就是分子图的谱理论。

  4. 符号说明 表示图 的邻接矩阵 对称，故特征根为实数。 称为 的最大特征值，也称为 的谱半径。 和 分别表示 阶树的集合和 阶具有完 美匹配的树的集合。令 ，

  5. 图的谱半径与最大度的关系 ● (见[1]) 为树，则 ● [Godsil, 4] 若 具有最大谱 ● [Simić et al., 5] 确定了 半径的树。

  6. 树的谱半径与最大度 ● [林，郭，6] 在 中， 具有最小的谱半径。 ● [林，郭，6] 在 中， 具有最大的谱半径， 其中 。 如图所示。 和

  7. 树的谱半径与最大度 ● 为 [林，郭，6] 令 中的树，则 其中 。 即当 时， 中的树的谱半径随其最大度 的增大而增大。

  8. 树的谱半径与最大度 界 时，下图中 是最好可能的。如当 ， 但 。

  9. 完美匹配树的谱半径与最大度 完美匹配树在化学上代表无圈Kekulean共轭碳氢化合物分子， 故更具有研究意义。(见[8,9]) ● 中， [林，郭，7] 在 具有最小的谱半径。 ● [林，郭，7] 在 中， 具有最大的谱半径， 如图所示。 和 。

  10. 完美匹配树的谱半径与最大度 ● 为 [林，郭，7] 令 中的树，则 其中 即当 时， 中的树的谱半径随其最大度 的增大而增大。

  11. 完美匹配树的谱半径与最大度 界 是最好可能的。如当 时， ， ， 但 。

  12. 一个问题 条边的连通二部图 令 为具有 个顶点 的集合或其子集。令 和 为 中的两个图， 是否存在常数 （只依赖于 或 ）， 或 ，使得当 时 ？

  13. 参考文献 • [1] D. Cvetković, M. Doob, H. Sachs, Spectra of Graphs-Theory and applications (Third edition), Johann Ambrosius Barth Verlag, 1995. • [2] D. Cvetković, P. Rowlinson, S. Simic, Eigenspaces of graphs, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. • [3] A. J. Schwenk, R. J. Wilsion, On the eigenvalues of a graph, in: L. W. Beineke, R. J. Wilson (Eds.), Selected Topics in Graph Theory, Academic Press, New York, 1978, pp. 307-336. • [4] C. D. Godsil, Spectra of trees, Annals of Discrete Mathematics, 20 (1984) 151-159. • [5] S. K. Simić, D. V. Tošić, The index of trees with specified maximum degree, MATCH Commun. Math. Comput. Chem., 54 (2005) 351-362.

  14. 参考文献 • [6] W. S. Lin, X. F. Guo, Ordering trees by their largest eigenvalues, Linear Algebra Appl. (in press). • [7] W. S. Lin, X. F. Guo, On the largest eigenvalues of trees with perfect matchings, Journal of Math. Chem. (in press). • [8] A. Graovac, I. Gutman, N. Trinajstić, Topological approch to the chemistry of conjugated molecules, Springer, Berlin, 1977. • [9] D. Rouvary, in: A.T. Balaban (Ed.), Chemical Applications of Graph Theory, Academic Press, New York, 1976 (Chapter 7).

  15. Thank you!

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