Conférencier : Claude MAURIN Professeur à l’IUFM d’Aix-Marseille Membre de la COPIRELEM

1. BOLLENE - LAPALUD - Mercredi 25 Janvier 2012 GRANDEURS et MESURES au CYCLE 2 et au CYCLE 3 Conférencier : Claude MAURIN Professeur à l’IUFM d’Aix-Marseille Membre de la COPIRELEM Membre de l’équipe d’auteurs de la collection « Pour Comprendre Les Maths » (PCLM) Editée par HACHETTE

2. PLAN DE LA CONFERENCE • Introduction   • Quelques précisions théoriques • Les principales étapes d’une progression sur une grandeur.

3. Etude des différentes grandeurs au programme : A) La taille d’une collection B) La longueur C) La masse D) La contenance E) Les durées F) Les aires G) Les angles H) Le volume 5) Les grandeurs dans la collection PCLM 6) Conclusion

4. INTRODUCTION • Le rôle fondateur des grandeurs mesurables ; • Les grandeurs mesurables : un tremplin vers les mathématiques ; • La dimension utilitariste des programmes de 2008 et les difficultés qu’elle engendre ; • Les difficultés d’apprentissage associées aux grandeurs mesurables .

5. Le rôle fondateur des grandeurs mesurables Citation extraite de la conférence prononcée par Catherine HOUDEMENT, Maître de conférence en didactique des mathématiques, lors des journées académiques de l’IREM de LILLE le 26 janvier 2006 : « L’apprentissage des grandeurs joue un rôle important dans les mathématiques que ce soit pour le développement du raisonnement, le renforcement de l’esprit critique ou l’épanouissement de la vie citoyenne. Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure (qu’il est nécessaire d’apprendre à utiliser) et la puissance du raisonnement (dont le calcul). Il prépare un terrain d’expérience pour d’autres concepts mathématiques : nombres non entiers, preuves géométriques. C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité, un croisement des sciences, de l’histoire, de la géographie. »

6. Les grandeurs mesurables : un tremplin vers les mathématiques. Les mathématiques se caractérisent par leur fonction d’anticipation sur le réel qu’elles cherchent à modéliser pour mieux pouvoir le prévoir. Dans cette recherche, les grandeurs mesurables apparaissent comme un des aspects essentiels des objets impliqués dans l’expérience.

7. A la suite de la publication des résultats de PISA 2009 - Extrait du monde de l’éducation (dec 2010) : …« Près de la moitié des élèves se montrent incapables de mener un raisonnement et de manipuler les notions de durée, de longueur et de volume. 15% semblent ne pas avoir tiré bénéfice des enseignements du collège… »

8. Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de 2008 : • Au cycle 2 : « Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre) et de temps (heure, demi-heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. »

9. Au cycle 3 : «  Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. • Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. • Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus. • Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. • Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. • La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées. »

10. Exemples de confusion entre mesure et grandeur : Au cycle 2 : De nombreux enfants sont capables de déclarer que : « 15 cm c’est plus que 5 m parce que 15 c’est plus que 5 » Au cycle 3 : De la conversion : 1254 m = 1,254 km certains enfants déduisent que 1254 = 1,254 Et ne tiennent plus compte de la virgule décimale.

11. Ce n’est pas en travaillant sur des mesures que les élèves comprennent ce qu’est une grandeur. • Ils sont éblouis par les nombres et n’accordent que peu d’intérêt aux abréviations des unités de mesure qui sont censées indiquer qu’on parle d’une grandeur. • Un travail trop précoce sur les mesures d’une grandeur peut devenir un obstacle à la conceptualisation de cette grandeur.

12. Que faut-il retenir de ces remarques ? Que les enseignants doivent se méfier de l’effet « Canada Dry » ! Les élèves peuvent nous laisser penser qu’ils maîtrisent une notion alors qu’ils ne donnent pas la même signification que le maître aux symboles qu’ils semblent pourtant manipuler correctement… par simple imitation.

13. Quel remède ? • Le seul chemin possible est celui de la construction du sens. • Nos élèves sont tous intelligents, si nous leur donnons l’occasion de construire un parcours cohérent, sans en précipiter les étapes, ils y adhèrent, se l’approprient et deviennent autonomes. Ce qui doit rester le but ultime de tout enseignement.

14. II ) QUELQUES APPORTS THEORIQUES A - Construction de la grandeur. B - Mesure de la grandeur

15. Extrait d’une communication de Viviane DURAND-GUERRIER Maître de conférence en didactique des mathématiques, au colloque national de la COPIRELEM de DOURDAN en 2006 : « La notion de grandeur est liée à la mise en place d’un protocole expérimental qui permet des comparaisons lorsque les contrôles sensoriels, en particulier perceptifs ne suffisent pas. Ce protocole doit être en accord avec les résultats obtenus par le contrôle sensoriel lorsque celui-ci fournit des informations non ambiguës. De ce fait, la première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation d’objets sensibles et l’élaboration de protocoles permettant les comparaisons, directes ou indirectes. »

16. La même idée était explicitée dans les documents d’accompagnement des programmes de 2002, dans le paragraphe intitulé : « Les grandeurs avant leur mesure » : « Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne. Le concept s’acquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivi de moment d’institutionnalisation par le maître ».

17. A - Construction de la grandeur PROTOCOLE EXPERIMENTAL DE COMPARAISON OBJET GRANDEUR

18. Tableau partiel de correspondance objets/grandeurs

19. B - Mesure de la grandeur Une mesure est une application φ de l’ensemble des objets dans l’ensemble des nombres positifs : φ : Objets Nombres positifs Mais toute correspondance entre des objets et des nombres n’est pas une mesure.

20. Cette correspondance doit satisfaire trois conditions : 1) Respecter l’égalité des grandeurs : Si A est équivalent à B alors φ(A) = φ(B) 2) Respecter l’ordre des grandeurs : Si A est supérieur à B alors φ(A) > φ(B) 3) Respecter la somme des grandeurs (Condition d’additivité) Si A + B = C alors φ(C) = φ(A) + φ(B)

21. 3. Les principales étapes que devrait respecter une progression sur une grandeur : I)  Construction de la grandeur • Comparaison directe associée au protocole expérimental de comparaison • Comparaison indirecte • Grandeur-somme et rapport entre deux grandeurs II) Mesure • Etalon ou unité locale • Unités de référence. Conversions.

22. I)  Construction de la grandeur • Comparaison directe et protocole expérimental de comparaison Faire émerger la grandeur à partir d’objets divers en définissant, avec la participation des élèves, le protocole expérimental de comparaison directe de ces objets selon la grandeur choisie. C’est au cours de cette étape que les élèves commencent à conceptualiser la grandeur.

23. B) Comparaisons indirectes : Comparer les grandeurs d’objets éloignés dans le temps ou dans l’espace amène à procéder à des comparaisons indirectes faisant intervenir un objet intermédiaire. L’utilisation d’un objet intermédiaire transportable permet de comprendre qu’on peut déplacer la grandeur sans forcément déplacer l’objet qui la porte. Cette étape fait aussi intervenir la transitivité de la relation d’ordre.

24. C) Grandeur-somme et rapport entre deux valeurs d’une même grandeur : Construire une grandeur-somme ou Comment construire un objet C dont la grandeur est la somme des grandeurs de deux autres objets A et B . On note : C = A + B Par extension D = A + A + A = 3A Etablir un rapport entre deux valeurs d’une même grandeur (combien de fois plus ?)

25. II)Le mesurage. A) Etalon et unité locale : Un objet va être choisi arbitrairement comme étalon, le rapport qu’entretient sa grandeur (qui devient une unitélocale) avec celles de différents autres objets devient la mesure de la grandeur de ces objets. C’est un moyen de reproduire des objets de même grandeur, de fabriquer des grandeurs-sommes ou de multiplier une grandeur par un entier. Les opérations sur les objets sontremplacées par les opérations sur les nombres.

26. B) Les unités de référence : Comprendre que pour des besoins de communication une unité de référence doit être choisie. L’histoire du système métrique peut opportunément être évoquée. On découvre aussi la nécessité d’adapter l’unité de mesure à la grandeur à mesurer (Voir PCLM). Des conversions peuvent devenir nécessaires pour comparer ou additionner des mesures entre elles. La construction et l’utilisation d’instruments de mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent aussi dans cette dernière étape accompagnant les calculs.

27. Le travail sur les unités de référence et les conversions occupe souvent 90% du temps consacré à l’étude d’une grandeur au détriment du peu de temps consacré à sa construction conceptuelle. Il faut vouloir réparer cette erreur !

28. Pour cela, il faut oser mettre en place de véritables situations d’apprentissage (comme en proposent la plupart des guides pédagogiques), mais ces situations ont le gros défaut d’occuper trop d’espace dans l’emploi du temps de la classe ! • Le maître est donc tenté de remplacer ces situations par un travail sur des exercices d’application, qui, même tirés d’un très bon support et corrigés avec attention, ne peuvent apporter aux élèves les mêmes bénéfices.

29. Avant de se prononcer le maître doit savoir que les situations vécues par les élèves ont une portée qui va bien au-delà du moment où elles se déroulent. Elles continuent à vivre dans leur souvenir, souvent bien au delà de l’année scolaire. • Elles peuvent servir de point d’appui à de nombreuses évocations et comparaisons qui permettent au maître d’apporter du sens à de nombreuses autres situations de classe moins concrètes.

30. Elles jouent un rôle de situations de référence, qui leur donne un pouvoir structurant sur les apprentissages qui en découlent. • Le maître doit donc prendre ces aspects en compte avant de faire ses choix didactiques. Il ne peut pas mettre en place de telles situations de façon trop fréquente, mais en choisir au moins une par période paraît possible et s’avère très bénéfique pour les élèves. • La partie qui suit a pour but de vous aider à faire des choix didactiques éclairés.

31. 4. ETUDE DES DIFFERENTES GRANDEURS A. Un exemple naïf : la « taille » d’une collection finie (GS/CP) : Les objets que l’on considère sont les collections finies d’objets distincts. - La grandeur mise en jeu est la « taille » de la collection. - Le protocole expérimental de comparaison est la correspondance terme à terme. - Le mesurage est la technique du dénombrement. - La mesure de la collection est le cardinal de la collection. Certaines opérations sur les collections seront traduites par des opérations arithmétiques sur leur cardinal.

32. B. La Longueur C’est une « grandeur première ». Il faut donc en profiter pour bien initialiser le processus. Le vocabulaire qui lui est associé est assez large : Hauteur, altitude, largeur, épaisseur, taille d’un enfant…. - Le protocole de comparaison doit être étendu aux objets non rectilignes. - La construction de longueurs sommes de plusieurs longueurs doit être abordé avant la mesure. - Le rapport entre deux longueurs, puis le choix d’une longueur de référence permet de construire une règle graduée. Sa construction permet de mieux en comprendre le fonctionnement et d’éviter d’en faire un instrument de repérage (Voir PCLM).

33. Exemple d’une erreur de mesurage répandue au CP :

35. L’introduction de la première unité de référence est laissée au choix de l’enseignant : centimètre ou mètre. Il est souhaitable que chaque unité soit mise en rapport avec une partie du corps de l’enfant : le mètre est la longueur d’un « pas de géant » », le centimètre est à peu près la largeur d’un doigt d’enfant. • Les élèves devront assez vite comprendre que le choix de l’unité dépend de la longueur à mesurer : la longueur de la cour ou celle de la trousse ne se mesurent pas avec la même unité. La combinaison des deux unités peut s’avérer pertinente (Voir PCLM). • Des conversions peuvent devenir nécessaires mais il faut que les élèves en comprennent la nécessité : elle permettent de comparer des longueurs en comparant leurs mesures ou bien d’additionner des longueurs en additionnant leurs mesures.

36. La longueur est une «grandeur-mère » : elle est la plus facile à graduer, ce qui permet de l’utiliser dans la plupart des instruments de mesure servant à mesurer d’autres grandeurs plus complexes : masse, contenance, durée… Elle est aussi la grandeur de base dans les calculs d’aire ou de volume, ce qui en fait une grandeur de base dans le système métrique. Dans certains problèmes, les segments de droite et leur longueur servent à schématiser d’autres grandeurs (ex : durée). Au cycle 3 les élèves devront aussi apprendre à se libérer des mesures effectives de longueurs pour apprendre à lire des schémas à main levée ou des schémas côtés.

37. Exercice donné dans une évaluation nationale de 6° : Enoncé : Ceci est un schéma à main levée. ABCD est un rectangle, sa longueur est 6 cm, sa largeur est 4 cm. A est le centre du cercle qui passe par B. Le cercle coupe le côté AD au point E. Quelle est la longueur du segment DE ?

38. E A D B C 4 cm 6 cm Réponses relevées : A) DE = 3 cm B) DE = 2 cm 3mm C) DE = 2 cm Comment les interpréter ?

39. C. La masse • A l’école on acceptera de confondre la masse et le poids. • Il faut aider les élèves à ne pas confondre masse et volume. • Le premier protocole expérimental de comparaison des objets selon leur masse va s’appuyer sur l’action de soupeser les objets. Celui-ci se révélant rapidement incertain, on introduit la balance de Roberval pour lever les doutes sans omettre d’établir le lien entre le fonctionnement de la balance et les sensations kinesthésiques perçues lors de la comparaison de deux objets de masses très différentes. La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par l’IREM de LILLE propose la construction d’une balance porte-manteau.

40. Des comparaisons indirectes utilisant un fluide facile à doser (sable par exemple) permettront de comparer les masses d’objets distants dans le temps ou dans l’espace et aideront les élèves à distinguer la masse de la forme de l’objet qui la porte. • Elles favoriseront aussi un travail sur la transitivité, qui est une propriété fondamentale des raisonnements logiques, lorsqu’il faudra effectuer des rangements d’objets selon leur masse à l’aide d’une balance de Roberval. • Le mesurage avec une masse de référence arbitraire (unité locale) comme par exemple des billes de terre censées avoir toutes la même masse, permet de faire des comparaisons et de s’approprier l’idée de mesure à l’aide de la balance de Roberval. • La pesée à l’aide de masses marquées devrait précéder les pesées avec une balance graduée ou à affichage digital, même si le rapport entre ces deux types de mesures doit être établi.

41. Le gramme est l’unité légale des masses mais le kilogramme est le plus souvent utilisé. Le rapport entre le gramme et le Kilogramme ne devra pas se limiter à : 1 Kg = 1000 g , il faut aussi que les élèves soient capables de prévoir quels sont les objets dont la masse se mesure en grammes et ceux dont la masse se mesure plutôt en kilo. (Voir PCLM) • Au cycle 3, un travail expérimental sur l’égalité des moments d’une force par rapport à un point fixe pourra permettre de comprendre le fonctionnement d’une balance romaine. La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par l’IREM de LILLE propose la construction d’un pèse-cheveu qui permet de développer un travail intéressant au cycle 3.

42. En règle générale les conversions de longueurs ou de masses devraient être un champ privilégié pour exercer des raisonnements associés à la proportionnalité de façon naturelle : • Utilisation d’un coefficient de proportionnalité : «  Une mesure en grammes est 1000 fois plus grande que la mesure de la même masse en kilo. » Masse en grammes = 1000 × Masse en kilos

43. Propriété de conservation du rapport entre deux mesures de masses exprimées dans la même unité (linéarité multiplicative), propriété au nom savant mais que les élèves appliquent de façon spontanée pour organiser leurs raisonnements personnels : « Une masse qui pèse 3 Kg est trois fois plus lourde qu’une masse de 1 Kg, une masse de 1 Kg pèse 1000 g, donc une masse de 3 Kg pèse trois fois plus soit 3 × l000 g. » 3 Kg = 3 × 1 Kg = 3 × 1000 gr = 3000 gr

44. D. La contenance - Le protocole expérimental de comparaison des contenances de deux récipients est fondé sur le transvasement. - Le travail expérimental de rangement de plusieurs récipients selon leur contenance est encore une bonne occasion de faire intervenir la transitivité. - Les verres-doseurs utilisés dans les recettes font apparaître un risque de confusion entre masse et volume (ou contenance), il n’est donc pas inutile de faire remarquer qu’un même récipient n’a pas la même masse selon qu’il est rempli de farine, de sable ou d’eau. La contenance ne se distingue du volume intérieur d’un récipient que par le choix des unités : pour la contenance le litre et ses multiples et sous-multiples sont construits sur la base dix, pour le volume les unités déduites des unités de longueur vont de mille en mille : 1m3 = (10 dm) 3 = 1000 dm3

45. E. Les grandeurs associées à l’écoulement du temps : les repères chronologiques et la durée : 1)Le repérage chronologique : La première perception est celle du temps qui passe, notre vie s’inscrit de façon irréversible dans cet écoulement orienté du temps. Les « dates » ou les « horaires » sont des repères qui s’ordonnent de façon naturelle en fonction de leur ordre d’apparition. Mais les « dates » ne sont pas des grandeurs mesurables. La lecture de l’heure est aussi un repère chronologique, elle entre dans la catégorie des « dates ». Les mots « heure », « demi » ou « minutes » que prononcent les élèves en disant l’heure, n’expriment pas encore pour eux des durées, ils permettent seulement de mieux repérer la position de certains moments dans le déroulement d’une journée.

46. Un apprentissage possible de la lecture de l’heure : Au début du CP : La pendule ne comporte que l’aiguille des heures, elle est graduée de 1 à 12. Les élèves apprennent à repérer l’heure qu’il est. Mais en cours d’année, avec l’aide du maître, ils perçoivent un besoin de plus grande précision.

47. Pendule de début de CP

48. A la fin du CP ou au début du CE1 : Une deuxième pendule apparaît en complément de la première. Elle est graduée de 1 à 60 et ne comporte que l’aiguille des minutes. Elle vient apporter la précision qui faisait défaut à l’horloge précédente. Au milieu du CE1 les deux pendules se fondent en une seule ou/et en horloge à affichage digital qui devient explicite.

49. Quelques repères réalistes, pour tous les élèves : GS : se repérer dans la journée de classe CP : se repérer dans la semaine CE1 : Lire l’heure en fin d’année CYCLE 3 : Se repérer sur l’année. Utiliser un calendrier Commencer à percevoir le temps historique

50. 2 ) La durée Contrairement aux repères chronologiques, la durée est une grandeur mesurable. On devrait donc apprendre à comparer des durées avant d’apprendre à les mesurer. Il est difficile d’y parvenir sans utiliser des sabliers (cycle 2)