Representação Geométrica

1. Representação Geométrica Rodrigo de Toledo (CG1, UFRJ)

2. Macro Cena Microscale Meso Níveis de escala • Objetos do mundo virtual • Textura Aqui • Representação dos objetos • Nível fotométrico

3. Representação da geometria • Implícita • Equação determina a descrição geométrica • Ex: quádricas, cúbicas e torus • Paramétrica • Função determina regra de construção • Ex: Bézier, Nurbs • Explícita • A geometria é descrita “ponto-a-ponto” • Ex: malha de triângulo e mapa de alturas

4. Representação Geométrica Implícita Quádricas, cúbicas, etc... CSG

5. Exemplo: círculo Representação Implícita: Representação Paramétrica: Representação Explícita:

6. superfícies implícitas são definidas por uma função f : R3R A função divide o espaço em três: surperfíce: f(x,y,z) 0 interior: f(x,y,z) <0 exterior: f(x,y,z) >0 f 0 Superfícies implícitas f 0 f 0

7. Classificação das superfícies implícitas • O grau da polinomial da função é que define o grau da superfície. • Grau 2: quádricas • Grau 3: cúbicas • Grau 4: quárticas • A quantidade de parâmetros S para cada grau p pode ser calculada usando:

8. Quádricas • Quádricas: Esfera: x2 + y2 + z2 = 1

9. Representação matricial das quádricas • Matriz simétrica Q4x4 contendo os 10 coeficientes:

10. spheres ellipsoids cones cylinders hyperboloids Classificação das quádricas • Para entender a nomenclatura 3D, primeiro vamos ver a nomenclatura 2D...

11. Curvas em 2D

12. Classificação das Quádricas • vide wikepedia Saddle Cela do cavalo

13. Cúbicas

14. Quárticas • Torus é a quártica mais conhecida:

15. Qual a complexidade da equação do coração? f(x,y,z) = (2x2 + y2 + z2 – 1)3 – 0.1 x2 z3 – y2 z3

16. Cálculo da normal à superfície • Gradiente da superfície no ponto x,y,z • Qual é a normal de uma quádrica? • Qual é a normal normalizada do ponto [x,y,z] numa esfera de raio unitário?

17. CSG (Constructive Solid Geometry)

18. A diferença não é comutativa CSG • Operações booleanas Diferença União Interseção

19. CSG • Objeto é representado por uma árvore • Operadores em nós internos • Primitivas simples nas folhas • Combinação bottom-up • Obs: • Como há operações não comutativas, as arestas são ordenadas • Pode haver nós de transformação: rotação, translação e escala...

20. Half-spaces • Alguns sistemas CSG, além de primitivas sólidas, também fazem uso de half-spaces, ou seja, planos que dividem o espaço em dois • Como definir um cubo a partir de half-spaces? • 6 half-spaces • Vantagem: • Para se fazer um corte, não precisa usar um objeto com vários lados. • Desvantagem: • Problema de validação: • nem toda combinação pode resultar em um objeto válido • (talvez só faça sentido usar para subtração)

21. CSG & raytracing Um objeto em CSG é comumente descrito por combinações de objetos implícitos, cujos cálculos de interseção com a reta são conhecidos, tornando o raytracing de objetos CSG uma extensão natural.

22. CSG & raytracing • Realizar operações booleanas com sólidos nem sempre é uma operação fácil • É mais fácil interpretar o que acontece com um raio atravessando esse sólido. • redução do problema a cálculos em intervalos 1D Goldstein and Nagel, “3-D Visual Simulation”, Simulation, January 1971.

23. A  B: CSG 1D A B A  B A: B:

24. A  B: CSG 1D A: B: A  B: A – B: B – A: A – B B – A A  B

25. CSG 1D • Classificação in/out por região: Exercício: Preencher a tabela acima!

26. CSG & Rasterização • Também é possível visualizar sólidos CSG com rasterização • Ordenação a posteriori dos fragmentos (pixels de cada primitiva) • Vide: • Rossignac and Requicha, “Depth-buffering Display Techniques for Constructive Solid Geometry”, CG & A, September 1986.

27. Algumas questões • A ordem na árvore tem importância? • Sim, verticalmente e horizontalmente (dif.). • Existe uma representação única, dado um objeto final e suas primitivas? • Não • A árvore tem que ser binária? • Os nós de união e interseção poderiam ter mais de um filho, mas diferença é sempre entre dois filhos.

28. r Possíveis questões de prova Monte a árvore CSG deste sólido, sabendo que as folhas são 2 cilindros e 1 esfera Monte a árvore CSG deste sólido e desenhe o que acontece com o raio r ao longo do seu caminho para cada nó da árvore à raíz. in out

29. Representação Geométrica Paramétrica Curvas paramétricas cúbicas Introdução Continuidade Algoritmo de De Casteljau Hermite, Bézier e Splines (B-Splines e Nurbs) Superfícies paramétricas bicúbicas Bézier...

30. http://www.cin.ufpe.br/~marcelow/Marcelow/Ensino.html

31. Curvas Paramétricas Cúbicas • Por que paramétricas? • são descritas em t • f(t), 0 ≤ t ≤ 1 t = 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

32. Por que cúbicas? • Grau 3: • Por que não <3? • Pouca flexibilidade • Por que não >3? • Computacionalmente caro • “Franjas” indesejáveis (unwanted wiggles) • Por que 3? • Controle suave (derivadas) da curva passando em dois pontos • Menor grau de curva em 3D

33. Paramétricas • Por que não f(x), ao invés de f(t)? • Mas como representar esses casos? f(x) x

34. Uma função para cada dimensão

36. Matricialmente • Derivada em t ?

37. Algoritmo de De Casteljau Interpolação x Aproximação

38. John Edson R. de Carvalho

39. 12 12

40. Algoritmo de De Casteljau P1 P12 (u) u = 0.25 P02 (u) P01 (u) P0 P2

41. Algoritmo de De Casteljau P1 u = 0.5 P02 (u) P12 (u) P01 (u) P0 P2

42. Algoritmo de De Casteljau P1 P01 (u) u = 0.75 P02 (u) P12 (u) P0 P2

43. Algoritmo de De Casteljau P1 0 ≥ u ≥ 1 P02(u) P0 P2

44. 13 13

45. http://en.wikipedia.org/wiki/Bézier_curve

48. Peso (influência) de cada ponto: ∑bi(u) = 1, 0 ≥ u ≥ 1

49. Juntando curvas • Como representar uma curva grande? • Poderia se usar uma curva de grau n(n grande para caramba ) • Ou, pode-se fazer emendas de cúbicas • Mas nesse caso, queremos garantir uma boa continuidade no ponto de junção

50. Continuidade • Geometric Continuity G0 • Duas curvas tem um ponto de junção • G1 • Se no ponto de junção, a direção (não necessariamente a magnitude) do vetor tangente é igual para as duas curvas • C1 • Se, além da direção, a magnitude for igual. • C2 • Se a direção e magnitude da derivada segunda for igual. • Cn • Se a direção e magnitude de for igual. • Para funções de grau alto, pode-se ter continuidade de grau ainda maior: n-polinomial  Cn-1 • Existe G2? Existe C0?