problem qm e t suma n t n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=? PowerPoint Presentation
Download Presentation
Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 12

Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=? - PowerPoint PPT Presentation


  • 93 Views
  • Uploaded on

Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?. Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const gdzie  termodynamika  mech. kwantowa f( ω )= funkcja rozkładu ρ ( ω )= funkcja gęstości stanów (tutaj: T=0) 1 ω ω E f.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Problem: QM  ω ( α ) E(T)=suma n(T, α ) ·ω ( α )=?' - roderick-jake


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
problem qm e t suma n t
Problem: QM ω(α)E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=?

Zajmiemy się tylko elektronami: fermiony, N=const

gdzie  termodynamika

 mech. kwantowa

f(ω)=funkcja rozkładuρ(ω)=funkcja gęstości stanów

(tutaj: T=0)

1

ωω

Ef

funkcja g sto ci stan w g v r qm
Funkcja gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω:V(r)  QM  ρ(ω)

opis wg QM (α)  (i) opis uproszczony

α = 0..1024 i = 0..106 i ωiΔgiρ(ω)

ωω

2 5=ω2 5=Δg2 2,5

Δω 1 3=ω1 9=Δg1 4,5

0 1=ω0 4=Δg0 2,0

0

funkcja rozk adu f t e f n g t termodynamika f t e f
Funkcja rozkładu f(ω,T,Ef)=Δn/Δg:T  termodynamika  f(ω,T,Ef)

dla fermionów: obowiązuje zakaz Pauliego, 0<f<1

(dla bozonów: zakaz Pauliego nie obowiązuje, 0<f)

WAŻNE: aby wyznaczyć energię Fermiego EF (tutaj jako parametr modelu, konieczny do obliczeń) należy tak dobrać Ef aby doprowadzić do samouzgodnienia:

dla zadanej liczby elektronów N. Stąd EF(T) zależy od T, choć w większości przypadków jest to słaba zależność.

problem qm e t suma n t1
Problem: QM ω(α)E(T)=suma n(T,α)·ω(α)=?

Dla zadanej liczby elektronów N, i po ustaleniu energii Fermiego EF, można wyliczyć energię wszystkich elektronów

Np. dla T=0 mamy EF=1 dla ω<EF, i EF=0 dla ω>EF. Ponadto w pobliżu dna pasma (ω=0, małe N) QM daje w przybliżeniu ρ(ω)=Aω2 dla standardowej próbki 3D. Wówczas

a stąd spodziewana średnia energia pojedynczego elektronu 0<E/N< EF wynosi E/N=0,6·EF.

strefy brillouina
Strefy Brillouina

Koncepcja stref Brillouina wynika bezpośrednio z faktu, że periodyczność V(r), charakterystyczna dla kryształu, przewiduje rozwiązania dla energii ω w postaci ω(kx,ky,kz) jako funkcji periodycznej wektora falowego (kx,ky,kz), np. ω(kx+2π/ax,ky,kz) = ω(kx,ky,kz), w kierunku kx; podobnie w pozostałych kierunkach ky i kz. Dlatego można ograniczyć zależność ω(kx,ky,kz) do jednego periodu; zazwyczaj jest to przedział od (-π/a) do (π/a), czyli do tzw. (pierwszej) strefy Brillouina. ky

+π/ay

x = punkty xx

równoważne

(o tej samej -π/ax +π/ax kx

energii ω)

-π/ay

xx

strefy brillouina i kwantyzacja ciecz fermiego
Strefy Brillouina i kwantyzacja, „ciecz Fermiego”

Można udowodnić, że (kx,ky,kz) mogą przyjmować tylko dyskretne wartości, a stąd energie ω są również dyskretne.

gdzie Nx jest liczbą atomów wzdłuż osi x-ów kryształu. Ten zakres zmienności nx odpowiada zakresowi kx od (-π/ax) do (π/ax). Całkowita liczba dozwolonych energii wynosi liczbie atomów Na= Nx·Ny·Nz, czego należało oczekiwać. Np. dla danej liczby elektronów N=0,1·Na mamy ky

+π/ay

-π/ax +π/ax kx

-π/ay

powierzchnia fermiego dla t 0
Powierzchnia Fermiego dla T=0

Szczegółowy opis energii ω w paśmie kryształu 0<ω<W jest dany przez zależność ω(kx,ky,kz), od wektora falowego (kx,ky,kz). Zgodnie z zasadą minimum energii, N elektronów zajmie możliwie (zakaz Pauliego!) najniższe z dozwolonych energii w pobliżu dna pasma dla k=0. Oznacza to, że jeżeli wyznaczymy powierzchnię stałej energiiω(kx,ky,kz)=EF, to wszystkie dozwolone stany (kx,ky,kz) wewnątrz tej powierzchni Fermiego będą obsadzone. Dla ω(kx,ky,kz) = ω(k) będzie to sfera. W ogólności, np. w modelu TBM, powierzchnia Fermiego nie jest sferą,

Jednak dla N << Na

i dla txax2 = tyay2 = tzaz2 powierzchnia Fermiego jest sferą.

powierzchnia fermiego dla t 01
Powierzchnia Fermiego dla T>0

Ogólna koncepcja przypadku T>0 polega na uwzględnieniu faktu, że zasada minimum energii ω(α) jako kryterium obsadzenia stanu α, n(α)=1, dla T=0 musi być zastąpiona prawdopodobieństwem p obsadzenia tego stanu. Ponieważ funkcja rozkładu zdefiniowana przez f(ω,T,Ef)=Δn/Δg jest właśnie prawdopodobieństwem p, to algorytm brzmi:

dla każdego stanu α

licz ω(α)  f=1/[exp(ω-Ef)/T + 1]

obsadź stan n(α)=1 z prawdopodobieństwem f,

else n(α)=0

Praktycznie f=1 dla ω<Ef, f=0 dla ω>Ef, i jedynie dla ω w pobliżu energii Fermiego Ef, ściślej dla Ef -T < ω < Ef +T, mamy obszar przejściowy, czyli rozmycie granicy między stanami zajętymi i pustymi. (Jest to też argument na rzecz użyteczności pojęcia energii Fermiego – tylko elektrony bliskie Ef mogą być

mobilne, elektrony o mniejszych energiach są zamrożone z powodu zakazu Pauliego.)

g sto ci stan w g dla pr bek o innych wymiarach d
Gęstości stanów ρ(ω)=Δg/Δω dla próbek o innych wymiarach D

Zazwyczaj krzyształ jest identyfikowany jako 3-wymiarowa próbka D=3. Mamy też próbki o niższym wymiarze, np. D=2 (cienkie warstwy), D=1 (białka DNA, wiskersy, polimery). Pokażemy, jak w granicy N << Na (jak półprzewodniki) funkcja ρ(ω) jest modyfikowana przez wymiar D:

Podstawą tego wyniku jest założenie ω ~ k2 słuszne dla

N << Na, oraz warunki kwantyzacji wektora falowego (kx,ky,kz) który wyznacza jednorodny rozkład dozwolonych stanów w przestrzeni wektora falowego.

energia e 0 n dla pr bek o innych wymiarach d dla w granicy n n a
Energia E(0)/N dla próbek o innych wymiarach D dla w granicy N<<Na

W temperaturze T=0, i dla ω ~ k2, mamy

i wówczas

model silnego wi zania dla innych struktur krystalograficznych
Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych

Model TBM pozwala obliczyć analityczne relacje ω(kx,ky,kz) dla kilku typowych struktur krystalograficznych dla tx=ty=tz, co odpowiada strukturom regularnym ax=ax=az.

SC = Simple Cubic, struktura regularna

BCC = Body Centered Cubic, struktura regularna przestrzennie

centrowana

FCC = Face Centered Cubic, struktura regularna

powierzchniowo centrowana

model silnego wi zania dla innych struktur krystalograficznych1
Model silnego wiązania dla innych struktur krystalograficznych

We wszystkich SC, BCC i FCC strukturach Z oznacza tzw liczbę koordynacyjną, czyli liczbę najbliższych sąsiadów Z= 6, 8, 12 odpowiednio. Parametr t ~ a–5 dla stałej sieciowej a wynosi zero dla fazy gazowej (gdy a zmierza do nieskończoności, atomy, jedna energia zamiast pasma o szerokości W). Wzory analityczne przewidują W=2Zt dla wszystkich struktur oraz w granicy

N << Na przybliżoną energię

ω=t(ka)2.

Wykładnik (-5) wynika z ogólniejszej zależności t(a) dla pasma typu określonego przez orbitalną liczbę kwantową:

dla l = 0,1,2,3,...

czyli s,p,d,f,...

mamy t ~ a–(g/2) = a–(2l+1).