第二章 行列式 ( determinant )

1. 第二章行列式(determinant ) § 2.1 行列式的性质 2.1.1 概念 行列式的定义：

2. 第二章行列式 定义 1 对n阶矩阵A，删去其第i行第j列，得到n-1阶子矩阵，称为对应于元a ij 的余子矩阵，记作S ij。

3. 定义 2 一阶矩阵[a11]的行列式的值为a11，即，det[a11]= a11；对n=2，3，…，可以递归地定义n阶行列式之值：

6. 定义 3 • 对于n阶矩阵A或n阶行列式detA，称detS ij为元aij的余子式，称 (-1)i+j detSij为元aij的代数余子式，记作A ij，即

7. 问题：试计算A 21和A 22。 n阶行列式的值可以定义为(计算公式)： 一般地，称为行列式按行（第一行）展开。 练习1：利用该定义计算例2的detA。

8. 补充内容排列 定义 由1,2,…,n组成的一个有序数组——n级排列。 例 32541，12345。 定义 阶乘： n! = 1234…(n-1)n 定义 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数成为该排列的逆序数。 例 32541中，32，54，31，21，51，41都是逆序，所以排列的逆序数是6。

9. 补充内容 排列 定义 逆序数为偶数的排列——偶排列；逆序数为奇数的排列——奇排列。 例 32541是偶排列，32451是奇排列。 定义 对换(i,j)：在一个排列中互换两个数i，j的位置，其余的数不动，可以得到一个新的排列，这样的变换称作为一个对换。 例 32541 42531 (3,4) 定理 对换改变排列的奇偶性。 定理 任意一个n级排列与排列n!都可以经过一系列对换互变，而且所作对换的个数与该排列具有相同的奇偶性。

10. 补充内容 排列 行列式的另一定义： 定义 1’

17. 将定理5和定理6合并写成统一形式：

23. 练习4 指出以下等式的正确性。对正确的以3阶行列式验证，不正确的是否可以改成正确的？ (1) det(kA)=kdetA (2) det(A+B)=detA+detB (3) det(AB)=detAdetB (4) det(Ak)=(detA)k (5) det(kI)=k。

24. 2.2 行列式值的计算 对于高阶行列式，根据其定义来计算其值是不可取的，利用行列式的性质可以简化其值的计算。 例 5 计算行列式：

25. 各行加入第一行

26. 各行减去第一行

28. 各列加入第一列

30. 例 计算 解 构造

31. 将V按最后一列展开： 因为：

32. 注意到多项式相等，则对应项的系数相等，所以，

33. 2.3 若干应用 2.3.1 转置伴随阵 逆阵公式 2.3.1.1 转置伴随阵 定义4对任一n阶矩阵A=[aij]，定义A的转置伴随矩阵，并记作 adjA ： adjA=[Aij]T=[Aji] 其中Aij是元aij在A中的代数余子式。 例11 设 计算adjA。

34. 定理 9 设A是n阶矩阵，adjA 是其转置伴随矩阵，则有： A(adjA) = (adjA)A =(detA)E 。 2.3.1.2 逆矩阵公式 定理 10 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0。 此时有逆阵公式： 例 12 判断例11的矩阵A是否可逆？若可逆则求出逆阵。

35. 可得矩阵方程组： AW+BY=In AX +BZ=0 CW+DY=0 CX+DZ=Ik

36. 若A可逆，则可以得到 W=A-1 - A-1BY C A-1 - CA-1BY+DY=0 又设 G=D - CA-1B 可逆，得到： Y= - G-1CA-1 因为，X= - A-1BZ， DZ - CA-1BZ=Ik， 所以 Z= G-1 X= - A-1B G-1 • 这样就得到M的逆矩阵。

38. 2.3.2 克拉默法则 讨论n x n 线性代数方程组的解： (2—24) 在第i个方程两边乘以 （这是系数行列式中元 的代数余子式），然后相加，得到

42. a,b,c,-1看作未知量!

43. 最后不加证明地指出： 方阵A 可LU分解的条件是 detA[k] ≠ 0, K=1,2,…,n-1，A[k]是矩阵A的k阶前主子矩阵。

44. 行列式的计算题、证明题： • (1) 提示：前一列乘以x加入后一列。

45. (2) 按此，将行列式拆分成两个行列式的和。

46. (3)设 计算 采用两次加边的方法

47. 再加边，构成n+2阶行列式。

48. 解答步骤

49. 解答步骤 • 然后，

50. (4)证明f(x)的根是 ，并求f(x)的多项式表达式，其中 第i行减去第1行。