rvel s bizony t s k vetkezm ny helyess g n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Érvelés, bizonyítás, következmény , helyesség PowerPoint Presentation
Download Presentation
Érvelés, bizonyítás, következmény , helyesség

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 12

Érvelés, bizonyítás, következmény , helyesség - PowerPoint PPT Presentation


  • 80 Views
  • Uploaded on

Érvelés, bizonyítás, következmény , helyesség. Érvelés (argument): Premisszák, konklúzió P1, P2, … tehát K Érvelés Fitch formátumban: P1 P2 … K. A függőleges vonal mutatja, mettől meddig tart az érvelés. A vízszintes választja szét a premisszákat és a konklúziót.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Érvelés, bizonyítás, következmény , helyesség' - roch


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
rvel s bizony t s k vetkezm ny helyess g
Érvelés, bizonyítás, következmény, helyesség

Érvelés (argument): Premisszák, konklúzió

P1, P2, … tehát K

Érvelés Fitch formátumban:

P1

P2

K

A függőleges vonal mutatja, mettől meddig tart az érvelés

A vízszintes választja szét a premisszákat és a konklúziót

slide2

A cserebogár bogár, és minden bogár rovar. Tehát a cserebogár rovar.

Érvényes érvelés: a premisszák igazsága esetén biztosak lehetünk a konklúzió igazságában.

Konkluzív érvelés: érvényes, és a premisszák igazak.

A cserebogár bogár. Hiszen a cserebogár rovar, és minden rovar bogár.

Helyes, érvényes (valid)

Sőt, konkluzív (sound)

Helyes, de nem konkluzív

Az egyik premissza hamis

slide3

A cserebogár rovar, mert minden rovar bogár és a cserebogár bogár.

Nem helyes

Hogyan bizonyítjuk, hogy nem helyes?

Ellenpélda: A ló hal, mert minden hal gerinces és a ló gerinces.

Ellenpélda: ugyanolyan formájú következtetés (csak kicseréltünk bizonyos predikátumokat), melyben a premisszák igazak és a konklúzió hamis.

slide4

Jancsi idősebb, mint Juliska

Juliska idősebb, mint Malacka

Jancsi idősebb, mint Malacka

Helyes ?!

Lehetetlen, hogy a premisszák igazak legyenek és a konklúzió hamis.

De tudunk ellenpéldát adni.

Az ‘idősebb, mint’ kétargumentumú predikátumot cseréljük ki arra, hogy ‘szereti’.

Tehát a lehetetlenség az ‘idősebb, mint’ jelentésén múlik.

Tágabb értelemben logikai következmény.

Vagy analitikus következmény – ahogy tetszik.

slide5

Múltkori házi feladatok

1.13, 5. mondat: LeftOf(fm(b), b)

Mit jelent (magyarul)?

Lehet-e igaz?

Analitikusan hamis.

(Avagy logikailag hamis, de a ‘logikai’ tágabb értelmében.)

6.: SameRow(rm(c), c)

Analitikusan igaz (avagy tágabb értelemben vett logikai igazság).

Lehetetlen, hogy hamis legyen (azaz nincs olyan Tarski-féle világ, amelyben hamis).

Bármilyen premisszahalmazból következik (az üresből is).

4.: FrontOf(fm(e), e)

bizony t s proof
Bizonyítás (Proof)

Hogyan bizonyíthatjuk egy érvelés helyességét?

Levezetjük a konklúzióját a premisszákból.

Fitch formátumban:

A vízszintes vonal alatt minden mondat

(lépés) következménye a megelőzőeknek

P1

P2

P3

K1

K2

Kn (=K)

Vegyünk először példánal egy nem formális bizonyítást.

Mindegy, hogy premisszáknak, vagy már levezetett mondatoknak (azaz korábbi lépéseknek.

slide7

Törzsszámok minden véges halmazához van olyan törzsszám, ami nincs benne a halmazban. (Euklidész)

Törzsszám az, ami csak eggyel és önmagával osztható. (premissza, definíció)

Legyen p1, p2, … pn törzsszámok egy adott, nem üres halmaza.

Legyen m=p1*p2*…pn + 1

(!) Ha m=n*k+1, akkor m nem lehet osztható k-val. (k>1) (premissza)

Tehát m nem osztható p1, p2, …pn egyikével sem. (következik az előzőekből)

De m>1 (következik az előzőekből).

Mivel m>1, m vagy törzsszám, vagy összetett szám (logikai igazság, tehát bármiből következik).

Ha m törzsszám, akkor készen vagyunk.

(!!) Ha m összetett szám, akkor osztható legalább egy törzsszámmal (premissza).

De ez a törzsszám különbözik p1, p2, …pn mindegyikétől (következik az előzőekből)

Ezért megint készen vagyunk.

slide8

Axiomatikus bizonyítás: a premisszák mind axiómák. (Tehát a (!), (!!) állításokat levezetjük az aritmetika axiómáiból.)

A bizonyítás szigorú: ha minden lépés következmény, tehát biztosan igaz, ha a megelőző lépések igazak (nemcsak nagyon valószínű).

Formális bizonyítás: adott nyelv, adott formátum.

Tehát: az előző bizonyítás nem axiomatikus, nem formális, de szigorú.

Egy adott rendszeren belüli formális bizonyítás: minden lépés a rendszer valamelyik előre rögzített levezetési szabálya szerint következik az előzőekből.

A levezetési szabályok alkotják tulajdonképpen a logikát.

bizony t sok azonoss ggal
Bizonyítások azonossággal

Vegyük ezt a két premisszát (a blokknyelven):

Cube(b)

b=c

Ha ezek igazak egy világban, akkor nyilván igaz Cube(c) is.

Általában, ha b és c ugyanaz az objektum, akkor mindent, amit b-ről állíthatunk, c-ről is állíthatjuk.

Ez az azonosak felcserélhetőségének elve, avagy Leibniz salva veritate-elve.

Vagy ha jól értjük Leibniz szövegét, akkor az általa kimondott elv egyik fele.

slide10

Ez az első logikai (levezetési) szabályunk:

Ha adott egy “b=c” alakú lépés, és egy másik lépés, amelyben előfordul b, akkor ezekből szabad arra a mondatra következtetni, amely a másodikból úgy keletkezik, hogy b-t kicseréljük c-re.

A szabály neve (jelölése) a mi rendszerünkben: azonosság-kiküszöbölés (=Elim).

Ezt odaírhatjuk az alkalmazása mellé jobbra. Így ellenőrizhető, hogy az adott konklúziót hogyan kaptuk.

Célszerű mindig megszámozni egy levezetés (bizonyítás) sorait (lépéseit). Így azt is meg tudjuk adni, hogy egy adott =Elim lépés mely korábbi lépésekre támaszkodik.

„=Elim: 4, 25” a következőket jelenti:

-- az a sor, amely mellett ez áll, azonosak felcserélésével keletkezett

-- a 4. és a 25.sorban levő mondatból

A kettő közül az egyiknek azonosságnak kell lennie. Ha mind a kettő azonosság, akkor még nem tudjuk egyértelműen hogyan kaptuk az új mondatot, de csak két lehetőség van.

slide11

Az azonosságra vonatkozó másik szabály: bármely bizonyításba bármikor beleírhatunk egy “b=b” alakú lépést (ahol b egy név).

  • Ennek neve azonosság-bevezetés (=Intro).
  • Az ilyen alakú álítások mindig igazak, tehát mindenből következnek (akár az üres premisszahalmazból is).
  • Alkalmazás:
  • a=b premissza
  • a=a =Intro
  • b=a =Elim: 2, 1
  • Ebben a bizonyításban a második sorban a első előfordulását cseréltük ki b-re. Azt bizonyítottuk be, hogy “a=b”-ből mindig lehet “b=a”-ra következtetni.
  • Ez az azonosság szimmetriája.
  • A blokknyelv kétargumentumú predikátumai (relációi) között más szimmetrikusak is vannak: SameCol, SameRow.
  • Az azonosság szimmetriája logikai törvény, a többi reláció szimmetriája a definíciójából (jelentéséből) következik.
slide12

Egy másik fontos tulajdonsága az azonosságnak (és más relációknak): a tranzitivitás, azaz hogy “a=b”-ből és “b=c”-ből mindig következik “a=c”.

Az azonosság tranzitivitását is be lehet bizonyítani az eddigi két szabályunk segítségével. (Házi feladat lesz.)

A blokknyelv más tranzitív predikátumai: SameCol, SameRow, BackOf, stb. Ez utóbbiakat nem bizonyítottuk, de tudjuk a predikátumok leírásából. A házi feladatokban fel szabad használni az ilyen tulajdonságokat.

Még egy hasonló összefüggés:

BackOf(a, b) pontosan akkor igaz, amikor

FrontOf(b, a).

Ezt úgy mondjuk, hogy a BackOf és a FrontOf predikátumok egymás megfordításai (inverzei).

A blokknyelvben inverz predikátumpár még például

LeftOf és RightOf, vagy Smaller és Larger.

Mi egy szimmetrikus predikátum inverze?

Saját maga.

Házi feladatok: 2.1, 2.4, 2.5.