برهان های قضیه ی اول از ابوریحان بیرونی در کتاب استخراج الاوتار

2. برهان های قضیه ی اولاز ابوریحان بیرونیدر کتاب استخراج الاوتار گردآورندگان : مهدي اميني 8408933 مجتبي غفوري 8416953 علي فتحي 8417083 مهدي سربازوطن 8413933 طراحی و انیمیشن: امیتیس روشن 8413343 استاد محترم : دکتر آقايي بهار 87

3. ابوریحان بیرونی

4. ابوریحان بیرونی • ابوريحان محمدبن احمد در سوم ذیحجه 362(4سپتامبر973) در خوارزم متولد شد. بسیار خردسال بود که تحصیل علم را آغاز کرد و ابو منصور منجم وریاضیدان بزرگ خوارزمی به پرورش او همت گماشت. در سن 17 سالگی با استفاده از یک حلقه مدرج که جز نیم درجه را نشان نمی داد ارتفاع نصف النهاری (نیمروزی) خورشید را در کاث اندازه گرفت واز روی آن عرض آن شهر را بدست آورد. • ابو ریحان در 11جمادی الاول خسوفی را رصد کرد وپیش از ان با ابو الوفائ بوز جانی قرار گذاشته بود که او نیز همان خسوف را از بغداد رصد کند .وی از روی اختلاف زمانی که بدین طریق بدست می آمد توانست اختلاف طول جغرافیای دو شهر را حساب کند. وی در کتاب تحدید اندازه گیری طول یک درجه از قوس نصف النهار راشرح می دهد.در393ه.ق دو خسوف را از گرگان رصد کرد.

5. آثار ابوریحان بیرونی • کتب ورسالاتی که از ابو ریحان به جا مانده عبارتند از: • در آثار الباقیه(الاثارالباقیه من القرون الخالیه) روز که بارزترین واساسی ترین واحد گاهشماری است موضوع فصل اول است.بیرونی در باره مزایای مبدا های مختلف تقویم بحث می کند. طلوع یا غروب(که بر مبنای افق اند).نیمروز ونیمشب (که بر پایه نصف النهارند) ودستگاههایی را که از هر یک استفاده می کنند نام می برد. بعد انواع مختلف سال را تعریف می کند سال شمسی قمری یولیانی وایرانی ومفهوم کبیسه رادر کار می آورد ودر فصل سوم به تعریف تاریخهای مختلف وشب در آنها می پردازد. • قرت الزیجات کتاب مرجعی که استفاده کننده با کمک ان می توانست همه مسایل نجومی زمان خود را حل کند ودر ان تاکید بیشتر بر محاسبات علمی است تا مباحث نظری وبدین دلیل شبیه زیجهای اسلامی است. مباحث این کتاب شامل قواعد تقویم نگاری.طول روز.تعیین خداوند نگاراحکامی سال و ماه و روز وساعت.مکان متوسط ومکان واقعی خورشید وماه وسیارات. ساعت روز. عرض جغرافیایی محل.خسوف وکسوف. وشرایط رویت برای ماه و سیارات است.

6. آثار ابوریحان بیرونی • قانون(القانون المسعودی) از کتاب که در میان آثار نجومی بازمانده بیرونی از همه جامعتر است جداول عددی بسیاری راکه منجمان واحکا میان قرون وسطی برای حل مسایل متعارف خود لازم داسته اند به تفصیل شامل است اما در آن بیش از زیجهای معمولی به گزارش رصدی وروش بدست آوردن روابط توجه شده است . کتاب به یازده مقاله وهر مقاله به ابواب وفصولی تقسیم شده است. • ممرها0کتاب الصیدنت فی طب) بیرونی حقیقت را فقط در نوشته ها وگفته ها نمی جست بلکه میل شدیدی به تحقیق مستقیم در پدیدههای طبیعی داشت واین کار را در سخت ترین شرایط انجام می داد. واین میل او با قریحه ای در ساختن آلات وابزار وتمایل به دقت در مشاهدات همراه بود. به دلیل علاقه ای که به دقت داشت ونیز چون می ترسید که در جریان محاسبات دقت لازم را از دست بدهد ونتایج حاصل از رصد را به نتایج حاصل از محاسبات ترجیح می داد. • التفهیم(التفهیم لاوایل صناعت التنجیم)کتابی است در سی در علم احکام نجوم که بیش از نیم آن به مقدمات موضوع اصلی اختصاص دارد. کتاب هم به فارسی مو جود است وهم به عربی که ظاهرا هر دو صورت ان را ابو ریحان خود فراهم کرده است ودر مجموع پنج فصل دارد.

7. آثار ابوریحان بیرونی • اسطرلاب(کتاب فی استجاب الوجوه الممکنت فی صفحت الاسطرلاب ) • الجماهر(الجماهر فی معرفت الجواهر) • سدس(حکایت الالت المسمات السدس الفخر) • تحدید(تحدید نهایات الاماکن لتصحیح مسافات المساکن • چگالیها (مقالت فی النسب التی بین الفلزات والجواهر فی الحجم) • سایه ها(افراد المقال فی امر الظلال) • وتر ها (استخراج الاوتار فی الدایرت) • پانجلی • ماللهند

8. عنوان قضیه D B E A C AB>BC کمانی است که ABCاولأ کمان است ABC وسط کمان D ثانیأ نقطه فرض عمود است ABبرDEثالثأ AE=EB+BC حکم :

9. D H برهان اول B جدا کردهDB را مساوی با کمان DHروی دایره کمان E Z را رسم میکنیم HA جدا می کنیمEB را مساوی با EZ پاره خط EAسپس روی A را رسم میکنیم DZ,DA C داریم : DB=DZ استBC برابر کمان HAکمان ^ ^ ^ ^ ^ ^ پس HDA+DAB=DBA HDA+DAB=DZB ^ ^ ^ ^ ^ ZDA=HDA زاویه خارجی مثلث AZD DZB=ZAD+ZDA ^ ^ DAB=ZAD ZE=EB و AH=BCاما AZ=AH متساویندDZAوDHAدو مثلث AZ+ZE=EB+BC

10. D H برهان دوم B E جدا میکنیم BC را روی دایره مساوی با کمان AHکمان Z جدا میکنیم AH را مساوی AE را روی AZپاره خط A داریم C DH=DBکمان HAD=DAZ پس HD=ZD متساویند DAH و DAZبنابراین دو مثلث است BZ منصف قاعده DEوارتفاع متساوی الساقین است BDZ پس مثلث BD=DZوچون AZ+ZE=EB+BC بنابراین

11. D برهان سوم Z A B E C AD=DC AD=DZ ^ ^ ^ A=Z=C ^ ^ ^ ^ ^ DBC=AD/2 +AC/2 DBC=DBC/2+AC/2=DB/2+ACB/2 DBC=DAB+ADB ^ ^ ^ DBZ=DAB+ADB زاویه خارجی مثلث ADB ^ ^ DBC=DBZ DBZ=DBC ZB=BC ZB+BE=EA CB+BE=EA

12. D برهان چهارم Z A B E C را رسم می کنیم . ZCو DZ وDCو DBو DA وپاره خطهایجدا می کنیم AE را مساوی با EZ را امتداد داده AB AZ عمود منصفDE DA=DZ ^ ^ DAB=DZB ^ ^ * ABCکمان وسطD AD=DC DZB=DCB ^ ^ DCB=DAB متساوی الساقین DZCمثلث ^ ^ متساوی الساقینBZCمثلث BZ=BC * BCZ=BZC BC+BE=AE ZB+BE=EA

13. D برهان پنجم را مساوی با EZرا امتداد داده روی آن AB DA,DC,DB,DZ جدا می کنیم وپاره خطهای AE رارسم میکنیم . Z A B E از نیم دایرهDBC وتری است ازدایره و کمان DC که محاط در کمانDBC کوچکتر است.بنابراین زاویه است منفرجه میباشد. DBC C *به نظر حاده و منفرجه بودن زوایا کاربردی در اثبات نداشته و صرفاً برای رعایت امانت در کلام آورده شده است. حاده DBAزاویه منفرجهDBZ از طرف دیگر DZB=DAB=DCB استZ مساوی زاویهC زاویه DBCوDBZپس دردو مثلث DC / DB = DZ / DBبنابراین DZ=DA=DC و منفرجه می باشند.پس زوایای دیگرشانDBZوDBCواضلاع دوزاویه دیگر متناسب هستند وعلاوه بر این هر یک از دو زاویه در انها مشترک است پس دو مثلث متساویند ودر نتیجه BDنظیر به نظیر متساوی است پس دو مثلث متشابهند وچون BZ=BC BC+BE=AE

14. جدا می کنیمDAرامساوی باDHرا امتداد داده روی آن ADوتر راABدایره ایی رسم می کنیم .سپس DHوبه شعاعDوبه مرکز برهان ششم ZCقطع کند وZامتداد می دهیم تا این دایره را در نقطه را رسم می کنیم .داریم:DCو H ^ ^ ADC=ABC محاطی و روبرو به یک کمان D ^ ^ یکی مرکزی ودیگری محاطی است و روبرو به یک کمان ADC=2AZC ^ ^ پس : ABC=2AZC B A Z پس داریم: ABC=AZC+ZCB :(ZBC)اما E BZC=ZCB ZB=BC متساوی الساقین است وBZC پس مثلث * ZB+BE=BC+BEبنابراین بروترDEعمودDمرکز است واز Dنقطه ACHاما در نیم دایره است یعنی:AZ وسطE فرود آمده است پس AZ C ** ZB+BE=ZE=EA *** و EA=BC+BE

15. جدا می کنیم BC رامساوی با BZرا امتداد داده روی آن ABوتر رارسم می کنیم داریم : DCوZCو برهان هفتم ^ ^ BZC=BCZ متساوی الساقین استBCZمثلث ^ ^ ^ ABC=2BCZ=2BZC زاویه خارجی D ^ ^ ADC=ABC محاطی و روبرو به یک کمان ^ ^ پس ADC=2BZC B A Z DA وبه شعاعDبنابراین دایرهایی که به مرکز AD=DCمی گذرد.زیرا ZوCرسم شود از نقاط E BZCدر این دایره زاویه مرکزی است وزاویه ADCوزاویه نصف آن است .پس :AZCیعنی AD=DZ AE=EZمتساویند پسZDEوADEبنابراین دو مثلث قائم الزاویه AE=BC+BE پس ZE=ZB+BE=BC+BEوچون C

16. برهان هشتم D H A رسم می کنیم AEDنیم دایره ADبه قطر را مساویDH را امتداد می دهیم و روی آن ADو ACH نیم دایرهAH جدا میکنیم وبه قطر DAبا را امتداد می دهیم تا نیم دایرهABرا رسم می کنیم و را رسم میکنیم ZCوZH قطع کند و Zرا در E B داریم : AD/DH=AE/EZ Z C AE=EZ مساوی است پس DHبا ADچون ABC=ADC BCZ=BZC BC=BZ ADC=2AZC و چون داریم پس ZE=ZB+BE=AE BC+BE=AE

17. برهان نهم D H B A AB خطی به موازات ABC وسط کمان Dاز نقطه قطع کند واز نقطه Hرسم می کنیم تا دایره را در نقطه Tرا درنقطه AB رسم می کنیم تا DE خطی به موازات H قطع کند. داریم: E T AD=DC Dوسط کمان ABC است،بنابراین: C BD=AH DH موازی AH است: بنابراین: DH=BC DH=ET=BC AT+TE=EB+BC AT=BE

18. برهان دهم D Z جدا کرده عمودDB را مساوی با کمان AZکمان فرود می آوریم .AB را بر ZH B A E H را رسم می کنیم .DZ وDB ^ ^ ZHA=DEB BDE=AZH ^ ^ ZAB=DBA C ZH=DE EH=DZ EH=BC پس DZ=BC چونازطرف دیگر و از آنجا AH+HE=EB+BC

19. برهان یازدهم D A B E Z C H

20. برهان دوازدهم D A B E Z H C غیر ممکن!

21. برهان سیزدهم D M H E A B T C K Z

22. برهان چهاردهم D Z A B E C

23. برهان پانزدهم D B E Z A C

24. برهان شانزدهم D Z B A H E C

25. برهان هفدهم D زاویه خارجی B A Z E H C

26. برهان هجدهم D L S A B E M K H C T Z

27. برهان نوزدهم D زاویه خارجی زاویه خارجی B A E K T C

28. برهان بیستم H D B E Z A زاویه های DBH و DZE برابرند.پس مکملهایشان برابرند: C

29. برهان بیست ویکم D B A Z E C

30. The End بهار 87