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第七章 傅立葉轉換

第七章 傅立葉轉換. 7.1 導 論 7.2 背景 7.3 一維離散傅立葉轉換 (DFT) 7.4 一維 DFT 的特性 7.5 二維 DFT 7.6 MATLAB 中的傅立葉轉換 7.7 影像之傅立葉轉換 7.8 頻率域的濾波 7.9 同態濾波. 7.1 導論. 傅立葉轉換是影像處理中，不但可以做到用其他方法無法得到的結果，也比其他方式要來的有效率。傅立葉轉換可以用於擷取貨處理特定影像頻率，在執行高通濾波時能夠的到更精確的效果。. 7.2 背景.

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第七章 傅立葉轉換

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  1. 第七章 傅立葉轉換 7.1 導論 7.2背景 7.3一維離散傅立葉轉換(DFT) 7.4一維DFT的特性 7.5二維DFT 7.6MATLAB中的傅立葉轉換 7.7影像之傅立葉轉換 7.8頻率域的濾波 7.9同態濾波

  2. 7.1 導論 傅立葉轉換是影像處理中，不但可以做到用其他方法無法得到的結果，也比其他方式要來的有效率。傅立葉轉換可以用於擷取貨處理特定影像頻率，在執行高通濾波時能夠的到更精確的效果。

  3. 7.2 背景 週期性函數可寫成不同振幅和頻率的正弦波與餘弦波之總和。如Fig7.1所示，我們將一個函數分解為幾個正弦函數的和。

  4. Fig7.1函數及其三角函數分解法

  5. 在Fig7.2中，若只取前四項，得到的僅是近似值。取的級數項數越多，總和便越接近原始函數。在Fig7.2中，若只取前四項，得到的僅是近似值。取的級數項數越多，總和便越接近原始函數。 Fig7.2 方波及其三角函數分解法

  6. 級數項取越多波形越近似一個方波

  7. 7.3一維離散傅立葉轉換(DFT) 使用傅立葉轉換可以得到構成指定函數或數列的各項正弦波。由於這裡主要處理的是離散數列以及影像，因此只探討離散傅立葉轉換(discrete Fourier transform)，縮寫為DFT。 處理離散函數時(或之後要處理的數位影像)和前節所述方式稍有不同，因為這裡數值數量有限，只需要有限個函數便可以。 舉例來說，下列離散數列 1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, 可視為Fig7.2方波的離散近似值，也可以用兩個正弦函數的和來表示，如Fig7.3。

  8. 7.3.1一維DFT的定義 (7.2) 此方程式與7.2節的傅立葉級數展開法的方程式相當類似，差別在於這裡非積分，而是一個有限的總和。此定義也可以用矩陣乘積來表示。 反DFT的公式和正向轉換十分相似。 (7.3)

  9. 若比較方程式7.3與方程式7.2，就會發現其實只有三點不同:若比較方程式7.3與方程式7.2，就會發現其實只有三點不同: 沒有縮放係數1/N。 指數函數中的符號改為正。 總和索引變數改為u，而非x。

  10. 在MATLAB中，可用fft與ifft來計算正向與反傅立葉轉換。fft代表快速傅立葉轉換(fastFourier transform)，是一種可以快速有效率地執行DFT的方法。 舉例來說: 在MATLAB中要將單一向量帶入DFT，必須使用向量。

  11. 7.4一維DFT的特性 線性由DFT矩陣乘積的定義便可推論出此特性。假設f和g是相同長度的兩個向量，p和q為純量，令h=pf+qg。若F、G與H分別為f、g與h的DFT，則 H=pF+qG 此結果是由以下定義 F=Ff, G=Fg, H=Fh 及矩陣乘積的線性特性推導而來。

  12. 平移將向量X的各個元素Xn乘以(-1)^n，也就是說，每隔兩個元素改變其正負號。假設這樣產生的向量為x’，x’的DFTx’若將左右兩邊互換，就和x的DFTx相等。平移將向量X的各個元素Xn乘以(-1)^n，也就是說，每隔兩個元素改變其正負號。假設這樣產生的向量為x’，x’的DFTx’若將左右兩邊互換，就和x的DFTx相等。 以MATLAB做個簡單的例子:

  13. X的前四個單元是X的四個單元，反之亦然。 共軛對稱範例如上

  14. 旋積假設x與y同樣是長度為N的向量，則其旋積(convolution)(更精確來說是環形旋積(circular convolution))。 MATLAB的函數conv可以產生課本上定義的多項式p(u)q(u)的係數:

  15. 比較FFT與直接計算結果

  16. 快速傅立葉轉換影像處理常使用DFT的其中一個原因，就是DFT可以使用快速的演算法來進行運算。DFT運算有好幾種非常快速且效率極高的演算法，其中快速傅立葉轉換(fast Fourier transform)，又稱FFT。

  17. 7.5 二維DFT 在二維下，DFT的輸入為矩陣，輸出為同樣大小的另一個矩陣。假設原始矩陣值為f(x,y)，x與y為索引，則輸出矩陣為F(u,v)，我們稱矩陣F便是f的傅立葉轉換(Fourier transform)，寫成 F=F(F) 原始矩陣f是F的反傅立葉轉換(inverse Fourier transform)，寫成 f=F^(-1)*(F)

  18. 7.6MATLAB中的傅立葉轉換 fft，計算向量的DFT ifft，計算向量的的反DFT fft2，計算矩陣的DFT ifft2，計算矩陣的反DFT ffshift，平移轉換

  19. DC係數正是所有矩陣值得總和

  20. 單一波紋函數構成的矩陣

  21. 單一邊界矩陣

  22. DC係數左右數值的對稱是DFT對稱性的結果

  23. 7.7影像之傅立葉轉換 產生一個包含單一邊界的簡單影像，計算DFT然後平移。

  24. 檢視頻譜有兩種方式: afl=log(1+abs(af)); imshow(afl/afl(129,129)) Imshow(mat2gray(log(1+abscaf)))

  25. 單一邊緣及其DFT

  26. 方形及其DFT

  27. 旋轉的方形及其DFT

  28. 圓形及其DFT

  29. 7.8頻率域的濾波 7.8.1 理想濾波 低通濾波: 平移傅立葉轉換矩陣F，將DC係數置於中心。由於低頻部分位於中心，因此低通濾波運算，可以將轉換乘上某種矩陣，使得中心值保持不變，並去除或縮小離中心偏遠的數值。其中一種方法就是乘上理想低通矩陣(ideallow-passmatrix)。

  30. 攝影師影像及其DFT

  31. 代入理想低通濾波器 (a)DFT經過理想濾波器 (b)反轉換後

  32. 不同截頻點之理想低通濾波器 (a)截頻點為5(b)截頻點為30

  33. 高通濾波: 高通濾波的作用與低通濾波剛好相反，在於消除中心值，讓其他值保持不變。 將影像代入理想高通濾波器 (a)高通濾波後的DFT(b)結果影像

  34. 不同截頻點之理想高通濾波器 (a)截頻點為5(b)結果影像

  35. 不同截頻點之理想高通濾波器 (c)截頻點為30(d)結果影像

  36. 7.8.2Butterworth濾波 理想濾波器直接切除傅利葉轉換距中心某個距離外的部分。這種截頻點的使用十分方便，但缺點是結果會產生不必要的波紋。要避免這種現象，可使用截頻點較不銳利的圓形當作率波矩陣。像是Butterworth filters就常被使用。

  37. Butterworth濾波器函數，n=2 (a)低通 (b)高通

  38. Butterworth濾波器函數，n=4 (a)低通 (b)高通

  39. (a)代入Butterworth(b)結果影像 低通濾波後的DFT

  40. (a)代入Butterworth(b)結果影像 高通濾波後的DFT

  41. 7.8.3 高斯濾波 高斯濾波，可當作低通濾波使用。不過，高斯濾波器也可以在頻率域使用。與理想和Butterworth濾波器一樣，產生高斯濾波器，與影像的傅立葉轉換相乘，然後反轉換。

  42. 頻率域的高斯低通濾波 (a)設σ=10(b)結果影像

  43. (c)設σ=30(d)結果影像

  44. 頻率域的高斯高通濾波 (a)設σ=10 (b) σ=30

  45. 7.9 同態濾波 產生的影像可能會有某些部分非常明亮，而陰影的部分就可能會顯得十分陰暗。

  46. 新生兒影像 使用正弦函數改變亮度

  47. END 同態濾波圖從缺..

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