9 無窮級數

1. 9 無窮級數 Infinite Series

2. 9.1 數列 9.2 級數和收歛 9.3 積分檢定和 p-級數 9.4 級數的比較 9.5 交錯級數 9.6 比例與根式檢定 9.7 泰勒多項式和近似值 9.8 冪級數 9.9 以冪級數表示函數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

3. P.471 Ch9 無窮級數 9.10 泰勒和馬克勞林級數

4. P.471 Ch9 無窮級數 泰勒和馬克勞林級數的定義 如果函數 f 在 x =c 無窮次可微，則我們稱下列級 數 為 f (x) 在 c 的泰勒級數；如果 c = 0，此級數也稱為 f 的馬克勞林級數。

5. P.472 Ch9 無窮級數 例 1寫下冪級數 寫下 f (x) = sin x 的馬克勞林級數，並討論收歛區間。 解　連續微分 f (x) 得出 f (x) = sin xf(0) = sin 0 = 0 f’(x) = cos xf’(0) = cos 0 = 1 f’’(x) = –sin xf’’(0) = –sin 0 = 0 f (3)(x) = –cos xf (3)(0) = –cos 0 = –1 f (4)(x) = sin xf (4)(0) = sin 0 = 0 f (5)(x) = cos xf (5)(0) = cos 0 = 1

6. P.472 Ch9 無窮級數 例 1（續） 等等，從三階導數之後數字出現規律性，因此冪級數為 由比例檢定得知此級數對所有的 x 都收歛。

7. P.472 Ch9 無窮級數 圖9.23

8. P.473 Ch9 無窮級數 定理9.23泰勒級數的歛散性

9. P.473 Ch9 無窮級數 例 2一個收歛的馬克勞林級數 求證對所有 x，f (x) = sin x 的馬克勞林級數收歛到 sin x。 解　利用例 1 的結果，我們要證明 對所有 x 都成立。由於 f (n+1)(x) =±sin x或 f (n+1)(x) =±cos x 所以 |f (n+1)(z)≤ 1 恆成立，固定 x，應用泰勒定理推得 從9.1 節關於指數和階乘收歛快慢的討論，我們知道對固定的 x 再由夾擠定理得知對任意的 x，當 n →∞時，Rn(x) → 0 恆成立。 由定理9.23 對所有的 x，sin x 的馬克勞林級數都會收歛到 sin x。

10. P.474 Ch9 無窮級數 圖9.24當n增加的時候，Pn的圖形越來越像正弦函數。

11. P.474 Ch9 無窮級數 求泰勒級數的指導原則 1. 連續微 f (x) 若干次後，在 x = c求各階導數 f (c), f’(c), f’’(c), f’’’(c), ……, f (n)(c), … 看看是否能找出規律。 2. 以係數 an = f(n)(c)/n! 寫下泰勒級數 並決定收歛區間。 3. 在收歛區間中，決定此一冪級數是否收歛到 f (x)。

12. P.474 Ch9 無窮級數 例 3合成函數的馬克勞林級數 求 f (x)= sin x2的馬克勞林級數。 解　先寫下例 1 中已知 sin x 的馬克勞林級數 再將 x 以 x2代入，即得

13. P.475 Ch9 無窮級數 例 4二項級數 假設 k 非正整數，求 f (x) = (1 + x)k的馬克勞林級數並 決定收歛區間。 解　連續微分，得到 f (x) = (1 + x)kf(0) = 1 f’(x) = k(1+ x)k–1f’(0) = k f’’(x) = k(k – 1)(1+ x)k–2f’’(0) = k(k – 1) f (3)(x) = k(k – 1)(k – 2)(1+ x)k–3f (3)(0) = k(k – 1)(k – 2) f (n)(x) = k…(k – n + 1)(1 + x)k–nf (n)(0) = k(k – 1)…(k – n + 1)

14. P.475 Ch9 無窮級數 例 4（續） 寫下馬克勞林級數 由於 an+1/an→ 1，應用比例檢定得知收歛半徑 R = 1， 所以級數在區間 (–1, 1) 上收歛到某一個函數。

15. P.475 Ch9 無窮級數 例 5求二項級數 求 的馬克勞林級數。 解　由例 4 中所得的二項級數 令　　 代入得 此一冪級數在 –1 ≤x ≤ 1 上收歛。

16. P.476 Ch9 無窮級數 基本函數的冪級數

17. P.476 Ch9 無窮級數 例 6從基本表求冪級數 求　　　　　 的馬克勞林級數。 解　利用冪級數 以　　代 x 得出 此一冪級數對所有 x ≥ 0 都收歛。

18. P.477 Ch9 無窮級數 例 7冪級數的乘除 求下列各馬克勞林級數的前三項。 a. ex arctan x b. tan x 解 a.利用表格中 ex和 arctan x 的馬克勞林級數，得到 把兩式乘開，以升冪排列

19. P.477 Ch9 無窮級數 例 7（續） 所以， 。 b.利用表格中 sin x 和 cos x 的馬克勞林級數得到 以長除法進行，

20. P.477 Ch9 無窮級數 例 7（續） 所以， 　 。

21. P.478 Ch9 無窮級數 例 8sin2x的冪級數 求 f (x) = sin2 x 的冪級數。 解　改寫 sin2 x 如下 此一冪級數對所有的 x 都收歛。

22. P.478 Ch9 無窮級數 例 9定積分的冪級數近似法 利用冪級數求 的近似值，準確到 0.01。 解　將 ex的級數中以 –x2代 x 後得出 對前四項求和，得出 從交錯級數檢定，得知誤差小於　　　　。