PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ I. část

1. PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ I. část 3. listopadu 2012 VY_32_INOVACE_110205_Permutace _bez_opakovani_I._cast_DUM obr. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

2. Souvislost mezi variacemi a permutacemi obr. 1 Jak už dobře víme z minulých prezentací, tak kombinatorika se zabývá studiem uspořádaných k-tic. Připomeňme si, co znamená pojem variace: k-členná variace z n prvkůje každá uspořádaná k-tice sestavená z těchto n prvků tak, že všechny prvky v ní jsou různé (neopakují se). V případě, že pak nemluvíme již o variaci, ale uspořádanou n-tici z n prvků nazývámepermutací.

3. Permutace bez opakování Permutace (pořadí) n prvků je každá n-členná variace z daných n prvků neboli každá uspořádaná n-tice sestavená z těchto n prvků. Permutace je proto zvláštním případem variace. obr. 2

4. Vzorec pro počet permutací, n faktoriál Pro počet všech permutací (pořadí) n prvků platí vzorec: Symbol , který se čte n faktoriál, je definován: … pro každé Je účelné definovat: obr. 2

5. Permutace bez opakování – praktická část Problematika permutací bez opakování je zachycena v pěti matematických úlohách, které jsou v prezentaci uvedené společně s řešením. Kombinatorické úlohy se týkají jednak reálných situací z praktického života, tak i problematiky z oboru přirozených čísel. obr. 2

6. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 3 Úloha 4 Úloha 2 Úloha 1 Řešení úlohy 1 Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Řešení úlohy 4 Úloha 5 Závěr Řešení úlohy 5

7. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Kolikerým způsobem může prodavačka do výlohy v obchodě vystavit vodorovně vedle sebe 8 různých šamponů ? obr. 3

8. Řešení úlohy 1 Zpět do nabídky úloh Každý šampon představuje prvek 8 prvkové uspořádané množiny (záleží v ní na pořadí prvků): Označíme: Počet způsobů rozložení šamponů do výlohy obchodu odpovídá počtu uspořádaných osmic z osmi prvků: Po dosazení do vzorce dostaneme: Prodavačka v obchodě má k dispozici 40 320 způsobů rozmístění šamponů. obr. 3

9. Úloha 2 zpět do nabídky úloh Určete počet všech přirozených čtyřciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze uvedené číslice a každá přitom právě jednou: • 1, 3, 5, 7 • 0, 2, 4, 6 obr. 4

10. Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úloh • Počet čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 1, 3, 5 a 7 je roven počtu permutací (uspořádaných čtveřic) ze 4 prvků: Existuje 24 čtyřciferných přirozených čísel ze 4 různých lichých číslic. b) Počet čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 0, 2, 4 a 6 získáme tak, že od počtu všech uspořádaných čtveřic z těchto prvků odečteme počet uspořádaných čtveřic, jejichž první člen je nula: 0 _ _ _ . Těchto čtveřic na začátku s nulou je , neboť nula je na prvním místě a zbývající tři číslice 2, 4, a 6 lze na tři zbývající místa rozmístit způsoby. Existuje 18 čtyřciferných přirozených čísel ze 4 různých sudých číslic včetně nuly. obr. 4

11. Úloha 3 zpět do nabídky úloh Na poličku chceme postavit do řady vedle sebe osm českých a šest německých knih. Určete počet způsobů: • jak seřadit všechny tyto knihy, • jak je seřadit tak, aby na levém okraji poličky byly vedle sebe všechny české a na pravém kraji všechny německé knihy, c) jak je seřadit tak, aby všechny české knihy byly vedle sebe a všechny německé taky. obr. 5

12. Řešení úlohy 3 pokračování Všech 14 knih lze seřadit na poličku vedle sebe 14! způsoby, neboť vytváříme uspořádané skupiny ze 14 prvků, tvoříme permutace bez opakování ze 14 prvků: … Existuje celkem způsobů seřazení knih. b) 8 českých knih lze na levém konci poličky seřadit 8! způsoby (uspořádané osmice z 8 prvků), německé knihy lze seřadit na pravém kraji 6! způsoby (uspořádané šestice ze 6 prvků). Dále využijeme kombinatorické pravidlo součinu (množina A1 obsahuje 8! prvků, množina A2 obsahuje 6! prvků). Knihy lze tedy seřadit daným způsobem: Existuje celkem způsobů seřazení knih. obr. 5

13. Řešení úlohy 3 c) Pro seřazení všech českých a všech německých knih vedle sebe jsou 2 možnosti : buď jsou všechny české knihy na levé straně poličky a všechny německé knihy na pravé straně poličky nebo obráceně. První případ jsme už vyřešili v části b), kde jsme zjistili, že těchto možností je . Je ale zřejmé, že stejným počtem způsobů lze setřídit všechny české knihy na pravé straně poličky, všechny německé na levé straně poličky. Počet způsobů, jak seřadit dané knihy tak, aby všechny české i německé knihy byly vedle sebe, je tedy: Existuje celkem 58 060 800 způsobů seřazení knih. obr. 5

14. Úloha 4 zpět do nabídky úloh a) Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá z číslic 0, 1, 2, 3, 4 a 5 vyskytuje právě jednou. b)Určete, kolik z nich je větších než 300 000. c) Určete, kolik jich je dělitelných deseti. obr. 6

15. Řešení úlohy 4 pokračování a)Jedná se o uspořádané šestice ze 6 různých přirozených čísel, ze kterých musíme vyloučit ty šestice, které začínají nulou: 0 _ _ _ _ _. Těchto šestic s nulou na začátku je celkem , protože nula je na prvním místě a zbývajících 5 číslic lze na 5 zbývajících míst rozmístit způsoby. Dostaneme výsledek: Existuje 600 šesticiferných přirozených čísel z těchto číslic. b) Šesticiferná čísla větších než 300 000 mohou začínat pouze číslicemi: 3, 4 a 5,tzn: 3 _ _ _ _ _ ; 4 _ _ _ _ _ ; 5 _ _ _ _ _ . Těchto uspořádaných šestic s číslicemi 3, 4 a 5 na začátku je celkem , neboť na prvním místě ve všech třech případech máme danou číslici a zbývajících 5 číslic lze na dalších místech rozmístit způsoby. Dostaneme výsledek: Existuje 360 šesticiferných přirozených čísel z těchto číslic větších než 300 000. obr. 6

16. Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úloh c) Šesticiferná přirozená čísla dělitelná deseti jsou čísla končící na nulu: _ _ _ _ _ 0. Nula tedy nemůže být na prvním místě, protože je na 6. pozici. Na prvních pět míst lze rozmístit ostatních 5 číslic , tzn. existuje způsobů vytvoření těchto šestic. Dostaneme výsledek: Existuje celkem 120 šesticiferných přirozených čísel z daných číslic, která jsou dělitelná deseti. obr. 6

17. Úloha 5 zpět do nabídky úloh Vesnického běžeckého závodu se zúčastnilo 17 běžců. Určete počet pořadí: • kterými mohli běžci proběhnout cílem, • ve kterých běžec B je hned za běžcem A, • ve kterých je běžec B za běžcem A. Přitom předpokládáme, že všichni účastníci závod dokončí a žádní dva neproběhnou cílem současně. obr. 7

18. Řešení úlohy 5 Počet možných pořadí, jak by mohli běžci proběhnout cílem, odpovídá počtu permutací (pořadí) ze 17 prvků bez opakování. Počet možných pořadí je tedy: Počet všech možných pořadí, kdy běžec B doběhne ihned za běžcem A, dostaneme tak, že si dvojici běžců, ve které je A první a B druhý, představíme jako jeden prvek. Jedná se tedy nikoliv o všechna možná pořadí 17 běžců, ale pouze 16 běžců (permutací ze 16 prvků , tzn. ). Počet možných pořadí běžců v cíli, ve kterých je B hned za A, je dán číslem: Počet všech pořadí, kdy běžec B doběhne za běžcem A, dostaneme takto: každému cílovému pořadí všech závodníků, ve kterých B doběhne za A, přiřadíme takové pořadí, ve kterém si B pořadí v cíli vymění s A, přičemž cílové pořadí ostatních běžců se nezmění. Obou těchto pořadí je stejný počet a jiná neexistují. Počet všech pořadí, v nichž je B za A, se rovná polovině počtu všech možných pořadí (permutací ze 17 prvků). Výsledný počet pořadí je dán číslem: obr. 7

19. Závěr V pěti kombinatorických úlohách jsme se zaměřili na využití vzorce pro počet permutací bez opakování. V následujícím prezentačním materiálu „Permutace bez opakování – II. část“ se budeme zaobírat matematickými úlohami, které se týkají úprav výrazů a rovnic s permutacemi. obr. 1

20. CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: 1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 181. ISBN 80-7196-109-4. 2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998., s. 290-291. ISBN 80-85849-78-X.

21. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1)GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – WikimediaCommons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - WikimediaCommons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 3) ALANTHEBOX. File:Shampoo Aisle.jpg - WikimediaCommons [online]. 23 September 2011 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Shampoo_Aisle.jpg 4) AMIDANIEL. File:Dc five.png - WikimediaCommons [online]. 2 December 2006 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dc_five.png

22. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5)ARONSSON, Lars. File:Tieto.jpg - WikimediaCommons [online]. 15 February 2005 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tieto.jpg 6) ŠJŮ. File:Hlubočepy 106, domovní čísla.jpg - WikimediaCommons [online]. 17 April 2006 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hlubo%C4%8Depy_106,_domovn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADsla.jpg 7) BROWN, Chris. File:Marathon Runners.jpg - WikimediaCommons [online]. 20 April 2008 [cit. 2012-11-03]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marathon_Runners.jpg • Prezentace byla vytvořena v programu MS PowerPoint 2010

23. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík