第六章定积分及其应用

第六章定积分及其应用 第二节　定积分的性质一、定积分的性质

每一个定积分如果都按照定义那样计算显然太麻烦,为了得到简便的计算方法,先学习定积分的性质.每一个定积分如果都按照定义那样计算显然太麻烦,为了得到简便的计算方法,先学习定积分的性质. 为了方便起见,作一些合理的规定: 积分的上下限对换，则积分变号，即当 a = b 时，则有

性质1两个函数的代数和的积分等于它们的积分的代数和，性质1两个函数的代数和的积分等于它们的积分的代数和，即

证根据定积分的定义有

推论1有限多个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即推论1有限多个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外,即性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外,即若 k 为常数,则证根据定积分的定义，有

性质3(定积分对区间的可加性)如果积分区间[a, b]分成两个区间[a, c]和[c, b]，那么　　　　　　　　　　　　　即 c < a < b或 a < b < c 时，当点c 不介于 a与 b之间，结论仍正确.

这个性质只用几何图形说明．

性质4 如果在区间[a, b]上恒有f (x)=1 则即:一的定积分等于上限与下限之差性质5如果在区间 [a, b] 上恒有f (x)≥0

≤ 推论如果在区间[a, b]上有f (x) ≤g (x)，那么证由定积分的定义，可知

≤ ≤ 　　由题设得知 f (xi) ≤g (xi)，即 f (xi) -g (xi) ≤ 0，且 xi > 0 (i = 1, 2, ···, n)，　所以上式右端的极限值非正，从而有移项，得

m (b -a) ≤ M (b -a)． ≤ y B M y = f (x) A m x O a b 性质6(估值定理)如果存在两个数M，m 使函数f (x) 在闭区间[a, b]上有m≤f (x) ≤M，那么该性质的几何解释是：曲线y = f (x) 在 [a, b]上的曲边梯形面积介于与区间[a, b]长度为底，分别以 m和 M 为高的两个矩形面积之间.

= f (x) (b -a)． 性质7(积分中值定理)如果函数f (x) 在区间 [a, b]上连续，那么在区间[a, b]上至少存在一点x ，使下面等式成立：

m≤ ≤ ≤ ≤ 证因为 b – a > 0，由估值定理得在 [a, b]上至少存在一个点 x ，由闭区间上连续函数的介值定理知道使于是得当 b < a 时，上式仍成立 .

y A y = f (x) f (x) B a O b x x 　在区间[a, b]上至少存在一点 x , 使得以 f(x)为高 b - a为底的矩形面积 . 该性质的几何解释是：恰好等于以区间[a, b]为底边，以曲线 y = f (x)为曲边的曲边梯形面积．

例 1比较下列各对积分值的大小：

≥ ≥ 解(1)根据幂函数的性质，在 [0, 1]上，有由性质 4 ，得

≥ (2)令 f (x) = x - ln(1 + x)，由在区间 [0, 1]上 f (x) 函数 f (x) 在区间 [0, 1]上单调增加，知所以， f (x) ≥f (0) = [x - ln(1 +x)]|x = 0 = 0，从而有 x ≥ ln(1 + x)，由性质 4 ，得

例 2用定积分的几何意义及性质说明 解从图可以出：因此

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