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6.1 　中村直子

テストと楕円曲線. 6.1 　中村直子. 命題 4.4.1 ℕ ある. この命題の十分条件の証明を行う. 証明. を充たす と する . もし 、 より , ≢ (mod は 乗ではじめて になることがわかる . 条件より よって (1.4) より. (1.4) この対偶をとり、. これを利用した確率的 PRIMES 判定法が 2001 年に Richard Crandall と Carl Pomrance が出した n-1 テストである . 命題 4.4.1 の条件は 全部ではなく , その半分程度の約数 の部分的な

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6.1 　中村直子

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  1. テストと楕円曲線 6.1　中村直子

  2. 命題4.4.1 • ℕ • ある この命題の十分条件の証明を行う.

  3. 証明 • を充たす • とする. • もし、 • より, • ≢ (mod • は乗ではじめてになることがわかる. • 条件より • よって(1.4)より (1.4) この対偶をとり、

  4. これを利用した確率的PRIMES判定法が2001年に Richard CrandallとCarl Pomranceが出したn-1テストである. 命題4.4.1の条件は全部ではなく,その半分程度の約数の部分的な 素因数全体がわかっていればよいので,同値性(4.8)を用いるより 確認しやすい条件となっている. この考え方をに付随する他の有限可換群にも適用することができる. これから楕円曲線の定義,法の擬楕円曲線を説明し,確率的PRIMES判定法 として楕円曲線素数証明ECPPを紹介する. このECPPは多項式時間かどうか不明だが「PRIMESRP」となる確率的PRIMES判定法も提案されている.

  5. 楕円曲線 一般の体でも楕円曲線は定義されるがここではPRIMESと整数分解問題IFPに力を発揮する標数5以上の有限素体に限る. 体とは… 1.加法に関してアーベル群である 2.乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす 3.乗法は加法に対して分配的である 標数とは つまり,ある環上で1を何回たしたら0になるかといことである. 即ちℤ/ このとき定義体上の楕円曲線代数方程式　 の解となる点 と仮定する. あるいは を考えてもよい.

  6. 非自明解 解集合[ すると で１対１に対応しているため、同一視される. また この点も無限遠点 } 無限遠点とは ユークリッド平面上の互いに平行な 2 直線の交点のことである. 厳密にはこの交点はユークリッド平面の中には存在しないから、無限遠点はユークリッド平面の外に存在する

  7. 重要なのは 具体的には以下のようにする. {0}に対して もしならば 　 さもなくば{0}を ・・・ として これで,ℙに付随する新しい群 今まで用いたに対して一つだが,今度の・・・ はに対してたくさんあり,利用できるものが増えて有利である. また,合成数かもしれないに対応するものがない. これは不利に思えるが,今後わかるが実は逆に有利に働く. は楕円曲線上の点傾きになっている

  8. 定理4.4.1(Hasse-Cassels) 仮定と記号は上の通りとすると,有理点の群構造は の形で 位数 つまり有理点は高々巡回群二つの直和で位数はと同じ程度である. 説明

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