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最大公約数とユークリッドの互除法

情報数学１ 第 1-2 章. 最大公約数とユークリッドの互除法. 香川大学工学部 富永浩之 tominaga@eng.kagawa-u.ac.jp. 概 要. ■ 最大公約数の性質 整除関係 互いに素 公約数 公倍数 GCD LCM ■ ユークリッドの互除法の漸化式と計算過程 gcd(a,b) 初期条件 漸化式 ■ 互除法の剰余列とアルゴリズム 剰余列 機械性と停止性 手続と算法 ■ 互除法の効率性と最小剰余による改良 最小剰余 ■ 互除法の図形的意味とブレントの算法 二コマコスの算法 ブレントの算法.

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最大公約数とユークリッドの互除法

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Presentation Transcript

  1. 情報数学１ 第1-2章 最大公約数とユークリッドの互除法 香川大学工学部 富永浩之 tominaga@eng.kagawa-u.ac.jp

  2. 概 要 • ■ 最大公約数の性質 • 整除関係 互いに素 公約数 公倍数 GCD LCM • ■ ユークリッドの互除法の漸化式と計算過程 • gcd(a,b) 初期条件 漸化式 • ■ 互除法の剰余列とアルゴリズム • 剰余列 機械性と停止性 手続と算法 • ■ 互除法の効率性と最小剰余による改良 • 最小剰余 • ■ 互除法の図形的意味とブレントの算法 • 二コマコスの算法 ブレントの算法

  3. 第01節 [1] 公約数と公倍数 • 6の約数±1, ±2, ±3, ±61は全ての約数 • 6の倍数0, ±6, ±12, ±18, ‥0は全ての倍数 • 12と18の公約数1, 2, 3, 6 • 10と15の公倍数0, 30, 60, 90, ‥ • 最大公約数GCD[Greatest Common Divisor] • gcd(a,b)gcd(12,18)＝6 • 最小公倍数LCM [Least Common Multiple] • lcm(a,b)lcm(10,15)＝30 • ・ 約数と倍数は符号付で考えることがある • ・ 公約数の約数は公約数、公倍数の倍数は公倍数

  4. 第01節 [2] 整除関係と互いに素 • 整除関係a｜bbがaで割り切れる • aがbの約数、bがaの倍数 • 整除系列a≪b整除関係を順序として表記 • 1≪3≪6≪12≪0 • 互いに素a⊥b aとbのGCDが1 • 整数の性質を調べる上での基本の場合 • 余因数a,bに対し、GCDで割った整商 • gcd(a,b)＝d とおくと a’＝a/d, b’＝b/d • a＝a’d, b＝b’d かつ a’⊥b’ • 整数の様々な性質の証明に用いる

  5. 第02節 [1] 最大公約数の性質 • <1> gcd(a,b) ＝ gcd(b,a) 交換律 • <2> gcd(-a,b) ＝ gcd(a,b) 符号無視 • <3> gcd(a,1) ＝ 11は全ての約数 • <4> gcd(a,0) ＝ a0は全ての倍数 (a＞0) • <5> gcd(ka,kb) ＝ k×gcd(a,b) 共通因数の括出し (k＞0) • <5>’ gcd(ab,b) ＝ b 整除関係 (b＞0) • <6> gcd(a,b) ＝ gcd(a-b,b) 差への還元 • <6>’ gcd(a,b) ＝ gcd(a%b,b) 剰余への還元 (b≠0) <5>gcd(42,30)＝gcd(6×7,6×5)＝6×gcd(7,5)＝6×1＝6 <6> gcd(42,15)＝gcd(27,15)＝gcd(12,15) ＝gcd(15,12)＝gcd(3,12)＝3

  6. 第02節 [2] 目の子の筆算によるGCDの計算 2 | 84 60 2 | 42 30 3 | 21 15 ーーーーーー ×75 12 ⊥ • gcd(84,60) • ＝ gcd(42,30)×2 • ＝ gcd(21,15)×2×2 • ＝ gcd( 7, 5)×3×2×2 • ＝ 1×3×2×2 • ＝ 12 ・ GCDの性質<5> 共通因数の括出し を利用している ・ 筆算は、式変形の本質的な部分のみを抜き出している ・ 目の子(人間の直感)で、共通因数を見つけている ・ 小さい数には有効だが、大きい数には歯が立たない ・ 機械的な処理手順ではないので、プログラムとして書けない ・ 全ての数で順に割り切れるか調べる方法は、効率が非常に悪い

  7. 第03節 [1] 最小公倍数の性質 • <1> a⊥b のとき lcm(a,b) ＝ a×b • <2> 余因数の括出し lcm(a,b) ＝ a’×b’×gcd(a,b) • <3> 共通因数の括出し lcm(ka,kb) ＝ k×lcm(a,b) • <4> 積の公式 a×b ＝ gcd(a,b)×lcm(a,b)

  8. 第04節 [1] ユークリッドの互除法の定義 • 漸化式による、効率的なGCDの計算 • 古代ギリシャの数学者ユークリッドが発見(?) • 世界最古の算法(アルゴリズム)‥機械的な計算手順 gcd(a,b) ＝ { a ; b＝0 { gcd(b,a%b) ; else gcd(51,36)＝gcd(36,15)＝gcd(15,6)＝gcd(6,3)＝gcd(3,0)＝3 gcd(3,5)＝gcd(5,3)＝gcd(3,2)＝gcd(2,1)＝gcd(1,0)＝1 初期条件 性質<4>gcd(a,0)＝a より 漸化式 性質<6>’gcd(a,b)＝gcd(a%b,b)より 性質<1>gcd(a%b,b)＝gcd(b,a%b) より

  9. 第06節 [1] 互除法の図形的意味 gcd(8,6)＝2 lcm(3,2)＝6 8×6の長方形を覆う、 最大の正方形のタイルは 2×2⇒ GCD 3×2のタイルを並べて、 覆える最小の正方形は 6×6 ⇒ LCM 長方形から最大サイズ (短辺)の正方形を 取れるだけ除く⇒ <6>’ 縦横を置き換えて、 同様に繰り返す ⇒ <4> 残余がなくなれば、 そのサイズがGCD ⇒ <1> gcd(17,7)＝gcd(7,3)＝gcd(3,1)＝1

  10. 第04節 [2] ユークリッドの互除法の計算過程 • k a b q r • ------------------------------ • 0 48 ÷34 ＝ 1 ‥14 gcd(48,34) • 1 34 ÷14 ＝ 2 ‥6＝ gcd(34,14) • 2 14 ÷6 ＝ 2 ‥2＝ gcd(14, 6) • 3 6 ÷2 ＝ 3 ‥0＝ gcd( 6, 2) • 4 20＝ gcd( 2, 0) • ------------------------------ • 4回の再帰呼出＝ 2

  11. 第05節 [1] 互除法の剰余列 計算 gcd(48,34)＝gcd(34,14)＝gcd(14,6)＝gcd(6,2)＝gcd(2,0)＝2 剰余列 48, 34, 14, 6, 2, 0 0で終わる有限の数列 34, 48, 34, 14, 6, 2, 0 a＜b のときは b, a と入替え

  12. 第05節 [2] 互除法の剰余列の漸化式 gcd(a,b) の計算における剰余列 N(k) の定義 初期条件 N(0) ＝ a, N(1) ＝ b; 与数 漸化式 N(k) ＝ N(k-2) % N(k-1) ; k≧2,N(k-1)＞0 終了条件 N(p+1) ＝ 0; 列長 p+2 剰余条件より 狭義単調減少 N(1)＞N(2)＞‥＞N(p)＞N(p+1)＝0 GCDの性質より gcd(a,b)＝gcd(N(k),N(k+1))＝N(p) while ( b != 0 ) { t = b; b = a%b; a = t; } n[0] = a; n[1] = b; k = 1; while ( n[k] != 0 ) { k++; n[k] = n[k-2] % n[k-1]; }

  13. 第05節 [2] アルゴリズムの条件 • ● 機械性 ‥ 手続[procedure] • ・ 個々の処理が厳密に定義されていて、機械的に実行できる • ・ 同じ入力に対し、いつ誰が計算しても、同じ出力となる • ● 停止性 ‥ 算法[algorithm] • ・ 有限な入力に対し、有限回のうちに手順が必ず終了する ・ 真の乱数は、アルゴリズムでは作れない(疑似乱数) ・ 機械的であるが止まらない手続が存在する(無限ループ) ・ 止まるか止まらないか未だに分からない手続きも存在する ■ 互除法がアルゴリズムであること ○ 機械性 数学的な漸化式で定義されている ○ 停止性 剰余列が狭義単調減少で必ず0で終了する

  14. 第06節 [2] 最小剰余による効率化 • ● 互除法の計算回数の最悪ケース • 整商が1しか立たず、大きな剰余が残ると、計算が進まない • すなわち、 N(k)＝N(k-1)%N(k-2)＝N(k-1)-N(k-2)のとき • これは、フィボナッチ数列を逆順にした数列 • ● 互除法の漸化式を効率化 • 剰余列の次項を最小剰余で考え、性質<2>より符号無視 • 正剰余で次項が除数の1/2超のとき、最小剰余では1つ飛越し • 正 13, 8, 5, 3, 2, 1, 04回 13 ÷8 ＝ 1 ‥+5 • 最小 13, 8, 3, 1, 02回 13 ÷ 8 ＝ 2 ‥ -3 • 【例題】621, 323, (298), 25, (23), 2, 1, 0

  15. 第07節 [1] ニコマコスの算法 • ● ニコマコスの算法 • ・ ユークリッドの互除法より以前に用いられた算法 • ・ a＞b のとき gcd(a,b)＝gcd(b, a-b) とする • ・ 負荷の高い除算の代わりに、減算を使った漸化式を考える • ・ a,bの桁数が異なると、大量の減算が必要となり、効率的でない • ・ 除算の実装は、実際には二進数の減算の繰返しなので、 • うまく改良できれば効率化できるかも ● ブレントの算法 ・ 二進数同士のGCDを高速に行う算法 ・ 2で割る(最下位桁の0を取り除く)ことと減算だけを使う ・ gcd(a,b)＝gcd(a',b')×2↑eとし、奇数となる gcd(a',b') に着目

  16. 第07節 [2] ブレントの算法 • ・ 事前処理として、下位桁の共通の0を取り除く(2↑eで割る) • ・ さらに一方のみの0も取り除く(2は共通因数にならないので無視) • ・ 大きい方から小さい方を引く(ニコマコスの算法) • ・ 差が0(両者が一致)になれば、直前の値がGCD'になっている • ・ 上位桁というより下位桁から減らしていく方法 • ・ 1回の減算で必ず1桁以上が減るので、log2(a) の計算量となる • ・ 負荷の高い除算を使わないので、ビットレベルの実装を工夫すれば、 • ユークリッドの互除法よりも高速 164 10101000[2] ⇒ 101010⇒ 10101 ⇒ 10101 ⇒ 10101 ⇒ 10010 ⇒ 1001 ⇒ 110 ⇒ 11 二進数 前処理 移動 減算 移動 減算 移動 一致 004×3 ＝ 12 二進数 前処理 減算 移動 一致 10000100[2] ⇒ 100001 ⇒100001⇒ 1100⇒ 11 ⇒ 11 ⇒ 11 ⇒ 11 ⇒ 11 132

  17. 第00節 [1] ユークリッドの不定方程式 • ユークリッドの一次不定方程式 23x－10y＝-2 を満たす具体解を1つ求めよ。 • 整除演算 23÷10＝2‥3 より、 23x－10y＝10(2x－y)＋3x と式変形し、 • z＝2x－y とおいて変数変換を行い、小さな係数の方程式 10z＋3x＝-2 に帰着させる。 • ユークリッドの互除法のように、 この操作を続け、一方の係数が1となる自明な方程式の • 具体解(他方の解は0)を求める。変数変換を逆算しながら、各変数を求めていく。 • 整除演算 [ ] より、 [ ] と式変形し、 • [ ] とおいて変数変換を行い、小さな係数の方程式 [ ] に帰着させる。 • ここで、 zの係数が1となり、自明な具体解 w＝ [ ], z＝ [ ] を得る。 • 変数変換の式を逆算し、 x= [ ], y＝2x－z から、 • 具体解 x＝ [ ], y＝ [ ] を得る。 • 与式を図形の方程式とみると、具体解は、直線 L : 23x－10y＝-2 上の • 格子点(XY座標がともに整数の点)になっている。 • 直線の傾きを考えると、xが10増えれば、yは23増えるという関係になっている。 • よって、他の具体解として、 x＝ [ ], y＝[ ] や、 x＝ [ ], y＝ [ ] が挙げられる。

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