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第四章补充练习题 1 ．证明：旋转曲面上的经线是测地线，纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线上的切线从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长． ►

第四章补充练习题 1 ．证明：旋转曲面上的经线是测地线，纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线上的切线从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长． ► 2 ．证明：如果曲面 S : r = r ( u 1 , u 2 ) 上的曲线 C : r ( t ) = r ( u 1 ( t ), u 2 ( t )) 满足 d 2 u k /d t 2 + G i k j (d u i /d t )(d u j /d t ) = 0, k = 1, 2, 则 C 是测地线，并且 | r ' ( t )| 是常数． ►.

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第四章补充练习题 1 ．证明：旋转曲面上的经线是测地线，纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线上的切线从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长． ►

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  1. 第四章补充练习题 1．证明：旋转曲面上的经线是测地线，纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线上的切线从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长．► 2．证明：如果曲面 S:r=r(u1,u2) 上的曲线 C:r(t)=r(u1(t),u2(t)) 满足 d2uk/dt2+Gikj(dui/dt)(duj/dt)=0, k=1,2, 则 C 是测地线，并且 |r'(t)| 是常数． ►

  2. 3．证明球面 r=(acosucosv,acosusinv,asinu), 上任一曲线的测地曲率 kg=(dq/ds)–sinu(dv/ds)， 其中 q表示曲线与经线的交角． ► 4．证明若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线． ► 5．利用刘维尔公式证明平面上的测地线为直线． ►

  3. 6．证明测地曲率为► 7．证明测地挠率为►

  4. 8．证明：若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零． ► 9．求证半径为 R的球面上测地三角之和为 p+A/R2，其中 A 为测地三角形的面积． ► 10．证明：若曲面 S 的高斯曲率处处小于零，则 S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线． ► 11．证明极小曲面上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线． ►

  5. 12．证明：若曲面的第一基本形式为 ds2=(du2+dv2)/(u2+v2+C)2， 则它的高斯曲率是常数． ► 13．证明：若曲面的所有测地线均为平面曲线，则曲面为全脐曲面． ►

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