普通高中课程标准实验教科书数学 4 （ A 版本）简介

普通高中课程标准实验教科书 数学4（A版本）简介人民教育出版社章建跃

一、本模块的教学目标 1.通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 2.了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 3.运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

教学目标的变化 1.强调三角函数的描述周期现象的数学模型的作用。 2.强调向量作为沟通代数、几何与三角函数的工具作用，向量是高中数学的核心概念之一。 3.不在三角变换的技巧上提过高要求。

二、教科书结构 三角函数——定义、图象性质、应用平面向量——背景、概念、表示运算和运算律、应用三角恒等变换——两角差的余弦基本公式的推导简单的恒等变换

结构特点 1.从定义、图象、性质等角度研究三角函数，不再把三角变换穿插其中，使函数的“味道”更浓。 2.向量安排在三角变换之前，为推导两角差的余弦公式作准备。 3.三角恒等变换独立成章，重点在基本公式的推导和简单应用上，意在培养推理和运算能力。

第一章三角函数 1.为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数？（1）突出三角函数概念的本质；（2）简化定义形式，体现数学的从简精神；（3）加强与几何的联系，便于应用。

2.充分发挥单位圆的作用 （1）1弧度的大小；（2）任意角得三角函数定义：任意角α点P的纵坐标——正弦任意角α点P的横坐标——余弦（3）三角函数的图象、基本性质、同角三角函数关系式、诱导公式三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论

三角函数的基本性质与单位圆的几何性质 • R=1—— • 圆周长=2π——周期性 • 关于x轴对称——cos(-x)＝cos x • 关于y轴对称——cos(π-x)＝-cos x • 关于直线y ＝ x对称—— • 旋转对称性——和（差）角公式 • 反射对称性——和化积

3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 • 局部固定参数（1）探索φ对y＝sin(x+φ)的图象的影响；（2）探索ω对y＝sin(ωx+φ)的图象的影响；（3）探索A对y＝Asin(ωx+φ)的图象的影响；（4）上述三个过程的合成。 • 具体到抽象——归纳思想

4.几个值得注意的问题 （1）关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思想方法；（2）关注数学内容的内在联系(数形结合): 三角函数——关于圆与三角形的解析几何数缺形时少直观，形缺数时难入微（3）关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）；

（4）加强三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想：（4）加强三角函数作为刻画现实世界周期变化现象的数学模型的思想： • 用已知的三角函数模型解决问题； • 将复杂的函数模型转化为等基本初等函数解决问题； • 根据问题情景建立精确的三角函数模型解决问题； • 通过数学建模，利用数据建立拟合函数解决实际问题：由给出的潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题

（5）准确把握教学要求： • 加强：三角函数作为刻画现实世界的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等。 • 削弱：删减任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号，对三角函数周期性的一般讨论作为选学内容，任意角概念、弧度制概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式等都降低了要求。

第二章平面向量 1.目标与定位目标：理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题。定位：沟通代数、几何与三角函数的一种工具——“工具性”。

2.内容的结构顺序 向量的实际背景及基本概念 ——向量的线性运算 ——平面向量基本定理及坐标表示 ——向量的数量积 ——向量应用举例

3.向量法 利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用： • 点——（以确定点为始点的）向量； • 直线——一个点A、一个方向a定性刻画；引进数乘向量ka，可以实际控制直线；

平面——一个点A、两个不平行（非0）向量a，b在“原则”上确定了平面（定性刻画）；平面——一个点A、两个不平行（非0）向量a，b在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表示为λa+μb（以及定点A）而成为可操纵的对象（定量刻画）； • 距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量——引进向量的数量积的定义 a·b=|a|·|b|·cosα，作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。

向量法：“三步曲” 向量几何——不依赖于坐标系的解析几何（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

4.值得注意的几个问题 焦点：如何提高向量教学的思想层次（1）突出向量的物理背景与几何背景；（2）强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用；（3）强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位；（4）通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。

向量及其运算与数及其运算的类比：研究内容及其方法的获得向量及其运算与数及其运算的类比：研究内容及其方法的获得向量的线性运算及运算律与数的加减及其运算律的类比；向量的坐标表示与数轴上点表示数的类比；向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比；向量法与解析法的类比

第3章三角恒等变换 1.学习目标 (1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 (2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆），通过这些基本训练，使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会一般与特殊的关系与转化、换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆），通过这些基本训练，使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会一般与特殊的关系与转化、换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。 (4)在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力。

2.关于两角差的余弦公式的推导 （1）向量法简单，但是思路并不自然，而且还失去了对学生思维能力培养的机会；（2）公式推导方法很多，可以让学生探究：不同方法体现了不同角度看同一个问题，体现了知识之间的多角度联系。例如，从圆的“旋转对称性”这一几何性质出发，可以得到另外的方法。

3.需要注意的问题 （1）精心设计教学过程，为向量法的引出做好铺垫，在差角余弦公式的推导上舍得用些课时；（2）三角变换：三角函数式的结构形式变换，角的变换，不同三角函数之间的变换 ——与代数变换的类比；（3）推理、运算能力的培养——有条理地思维，类比、推广、特殊化等思考方法的应用；（4）不搞技巧性训练。

数学5简介 内容：解三角形、数列、不等式——相互联系不如其他模块目标：（1）通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。（2）通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

（3）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。（3）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

一、关于解三角形 1.正弦定理的推导（1）怎样导出研究的问题：平面几何定性研究——定量研究 SAS、AAS、SSS——边长、角度、面积、外径、内径（2）公式的发现与证明：借助高；面积法；借助外接圆

2.余弦定理的推导 （1）SSS的几何意义——三个内角分别为三边长的函数； SAS的几何意义——三边长分别为另两边及其对角的函数；上述两种情况是正弦定理无法解决的。（2）证明方法：垂直投影、解线性方程组

二、关于数列 1.数列是特殊的函数——关于离散型变量的函数。充分发挥已有的研究函数的经验的作用，提出要研究的问题及其研究方法。

2.等差数列与等比数列 （1）两类结构最好的数列；（2）类比：数列——数及其运算、函数及其基本性质；等差数列——一次函数型；等比数列——指数函数型；（3）原型：等差数列 1，2，3，…，n，… 等比数列 q，q2，q3，…，qn，… 其他数列设法划归为上述两种数列

（4）前n项和公式的推导 等差数列：高斯求和体现的算法等比数列：“错位相减法”、1+q+…+qn （5）等差、等比数列的性质类比：函数性质、方程思想等

等差数列、等比数列的研究中，思想方法的启发要适度，要做到“开而弗达”，只要点破，就没有多少思维价值。例如：等差、等比数列求和中的几种方法。所以，要设法让学生通过独立思考获得解决方法。等差数列、等比数列的研究中，思想方法的启发要适度，要做到“开而弗达”，只要点破，就没有多少思维价值。例如：等差、等比数列求和中的几种方法。所以，要设法让学生通过独立思考获得解决方法。

三、关于不等式 1.目标：感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

2.主要变化 （1）不等式（组）——反映不等关系的数学模型；（2）不等式的证明基本不作要求；（3）加强了一元二次不等式的背景和应用，加强了与函数、方程的联系，加强了数形结合；（4）二元一次不等式组——背景、几何意义及其应用（线性规划问题）；

（5）基本不等式的证明：代数变换、几何意义、分析法证明；（5）基本不等式的证明：代数变换、几何意义、分析法证明；不要求用基本不等式作推理证明；强调基本不等式在解决最大（小）值问题中的作用——强调实际应用。

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