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第九章 滤波器组

第九章 滤波器组. 9.1 M 通道滤波器组结构 9.2 滤波器组的准确重建 9.3 QMF （正交镜像滤波器组） 9.4 CMFB （余弦调制滤波器组）. §9.1 M 通道滤波器组结构. An M -band analysis filter bank is shown below. 输入信号被分解成一组 子带信号 v k (n). 滤波器称为 子带分解滤波器组. 滤波后，每个子带的样点数和原来 一样 ，分解成 M 个子带后样点数为 原来的 M 倍. §9.1 M 通道滤波器组结构.

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第九章 滤波器组

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Presentation Transcript

  1. 第九章 滤波器组 • 9.1 M通道滤波器组结构 • 9.2 滤波器组的准确重建 • 9.3 QMF（正交镜像滤波器组） • 9.4 CMFB（余弦调制滤波器组）

  2. §9.1 M通道滤波器组结构 An M-band analysis filter bank is shown below 输入信号被分解成一组子带信号vk(n) 滤波器称为子带分解滤波器组 滤波后，每个子带的样点数和原来一样，分解成M个子带后样点数为原来的M倍

  3. §9.1 M通道滤波器组结构 • An L-band synthesis filter bank is shown below 滤波器称为综合滤波器组 ？1 子带带宽为原始的1/M倍，是否可对子带1：M抽取 ？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号

  4. §9.1 M通道滤波器组结构 • 对信号进行M个子带分割，分割后频谱形式为： 第K个子带为： 对限带于 的低通信号，M:1抽取后没有混叠 ？带通信号呢？

  5. §9.1 M通道滤波器组结构 对于子带 K＝1：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了 再以2π为周期延拓

  6. §9.1 M通道滤波器组结构 对于子带 K＝2：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了 再以2π为周期延拓

  7. §9.1 M通道滤波器组结构 结论： 1）对于子带序号K为奇数，负频谱部分映射到[0,π] 正频谱部分映射到[-π,0]。扩展后不会发生混叠 2）对于子带序号K为偶数，正频谱部分映射到[0,π] 负频谱部分映射到[-π,0] 3）对带通信号 进行1：M的抽取后，频谱不发生混叠

  8. §9.1 M通道滤波器组结构 ？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号 因此，内插后利用通带为 的带通滤波器即可以恢复原始带通信号

  9. §9.1 M通道滤波器组结构 理想情况： 若信号分解到M个互不重叠的子带上，那么M个通道上的信号相加即可恢复原始信号。 M通道滤波器组： 将信号通过M个内插和抽取滤波组分解和恢复的整个结构 子带信号： 占有各自专门频带的信号 M通道准确重建滤波器组： 信号可以从子带中准确地恢复的M通道滤波器组

  10. §9.2 滤波器组的准确重建 实际情况： 符合带通滤波器要求的理想滤波器并不存在，因此上面仅通过内插和抽取滤波器实现准确重建是物理不可实现 仅能设计近似重建的滤波器 是否可以准确重建？ 若内插和抽取滤波器的混叠部分相互抵消，也可以实现

  11. w p 2p 0 §9.1 M通道滤波器组结构 由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 • 假设 是通带边缘和阻带边界在π/M 附近，通带边缘和阻带边缘分别为 和

  12. §9.1 M通道滤波器组结构 由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 • 希望得到频率响应为 的带通滤波器，频率响应 是 右移2pk/M的结果 • 其Z变换

  13. §9.1 M通道滤波器组结构 由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 因此： • 原型滤波器为线性相位，现仍为线性相位；（考虑是否对） • 原型滤波器为实数，现滤波器为复数 • 该滤波器即可以作为分解滤波器又可以作为综合滤波器

  14. §9.2 滤波器组的准确重建 从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换 是 的第j个多相分量，定义相应的矩阵 是 的第j个多相分量，定义相应的矩阵

  15. §9.2 滤波器组的准确重建 从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换

  16. §9.2 滤波器组的准确重建 从M通道滤波器组的多相结构开始 再利用恒等变换 M M M R0(zM) E0(zM) z-1 z-1 M M E1(zM) R1(zM) z-1 z-1 z-1 z-1 M M RM-1(zM) EM-1(zM)

  17. §9.2 滤波器组的准确重建 从M通道滤波器组的多相结构开始 再利用恒等变换 M M R0(z) E0(z) z-1 z-1 M M R1(z) E1(z) z-1 z-1 z-1 z-1 M M RM-1(z) EM-1(z)

  18. §9.2 滤波器组的准确重建 从M通道滤波器组的多相结构开始 因此，M通道准确重建的条件应为 是单位阵 较为宽松的条件，增加延迟单元

  19. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组，并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量

  20. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 解： 因此是准确重建滤波器组

  21. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 解：

  22. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 解： 称为Haar滤波器组

  23. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 解： 滤波器远非理想频谱响应 但由于子带混叠处互补，因此仍能实现准确重建

  24. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量

  25. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量，并给出相应的实现结构 解： 因此是准确重建滤波器组

  26. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量，并给出相应的实现结构 解： 因此是准确重建滤波器组

  27. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量，并给出相应的实现结构 解： 因此是准确重建滤波器组

  28. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量，并给出相应的实现结构 解： H0(z) 2 2 G0(z) H1(z) 2 2 G1(z)

  29. §9.2 滤波器组的准确重建 例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量，并给出相应的实现结构 解： 2 R00(z) 2 E00(z) z-1 z-1 R10(z) E01(z) 2 2 R01(z) E10(z) z-1 z-1 R11(z) E11(z)

  30. §9.2 滤波器组的准确重建 滤波器组的多路复用 M M H0(z) M G0(z) M H1(z) M G1(z) M HM-1(z) M GM-1(z)

  31. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道滤波器组的多相分量表示：

  32. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 其中：

  33. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道滤波器延时一个单位 只要满足稳定条件，即可设计IIR滤波器

  34. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 但对于FIR滤波器，上式中的分母必须是一个全通延迟函数

  35. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道滤波器组的多相分量表示：

  36. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道滤波器组的多相分量表示：

  37. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道准确重建的条件变为： M为通道数

  38. §9.2 滤波器组的准确重建 通用的两通道准确重建滤波器组 2通道准确重建的条件变为： 2通道准确重建的设计方法： • 找到符合上述条件的P（Z） • P（z）因式分解为 保证都为低通滤波器组 • 根据上面的计算公式得到相应的结果 注意：G0和H1是关于w=π/2对称的

  39. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 一种早期两通道滤波器组设计方法 高通和低通的关系为简单的符号相反 如果是实系数，高通滤波器和低通滤波器的幅频响应是关于π/2互为镜像的，因此称为正交镜像滤波器组

  40. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 总的传输函数为 此时多相分量必须是简单延迟，才能准确重建 近似准确重建可选FIR线性相位低通滤波器 子带数目增多，设计复杂度很高

  41. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 简单的双通道QMF滤波器组 • 对于实系数滤波器 即 是低通滤波器， 是高通滤波器 • 即上述滤波器组关于p/2镜像对称

  42. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 同样得到 当 C(z) = 1 • 因此分析和综合滤波器都由滤波器 决定 • 如果 是低通， 也是低通； 是高通滤波器 • 总的传输函数（失真函数）

  43. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 为提高计算有效性，采用多相结构 • 设多相表示为： • 按照关系 • 将该两公式结合成矩阵形式

  44. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 同样综合滤波器组表示成矩阵的形式为： • 这样双通道QMF实现结构为

  45. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 利用级联的恒等变换

  46. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 利用上述多相结构得到传输函数（失真函数） T(z)的多项表示为 • 因此，准确重建（PR）多相分量必须是简单延迟

  47. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 例9.3- 设 • 其多项结构为 因此 同样

  48. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 如果 是N阶FIR线性相位滤波器，其多相分量 也是 线性相位滤波器 • 此时，传输函数 是线性相位，没有相位失真 • 但 不是常数, 因此有幅度失真 • 如何减少残留的幅度失真？ • 设 是长度为N的实系数线性相位FIR滤波器组

  49. ~ §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • 满足 • 传输函数可写为 • 如果N 为偶数， w = π/2处为0，不利的零点，严重失真，不能采用

  50. §9.3 QMF正交镜像滤波器组 • N必须是奇数 • 因为准确重建条件 • 失真的程度取决于两个滤波器幅频重叠部分

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