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第 7 章 特征理论 偏微分方程组

第 7 章 特征理论 偏微分方程组. 7.1.1 弱间断解与弱间断面. 第 7 章 特征理论 偏微分方程组. 例子 考虑弦振动方程 则 不是古典解,但它是弱间断解。. 第 7 章 特征理论 偏微分方程组. 7.1.2 特征方程与特征曲面 设光滑曲面 是方程( 7.1.1) 的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。. 第 7 章 特征理论 偏微分方程组. 方程特征曲面的例子. 第 7 章 特征理论 偏微分方程组. 7.2 方程组的特征理论.

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第 7 章 特征理论 偏微分方程组

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Presentation Transcript


  1. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.1.1 弱间断解与弱间断面

  2. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 例子 考虑弦振动方程 则 不是古典解,但它是弱间断解。

  3. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.1.2 特征方程与特征曲面 设光滑曲面是方程(7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立。

  4. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 方程特征曲面的例子

  5. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2 方程组的特征理论

  6. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2.1 弱间断解与特征线

  7. 第7章 特征理论 偏微分方程组

  8. 第7章 特征理论 偏微分方程组

  9. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型

  10. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 将狭义双曲型方程化为标准型的方法: • 1. 求向量方程 的解。 2. 令, 用T 左乘(7.2.2)式得:

  11. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 3.

  12. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3 双曲型方程组的Cauchy 问题 首先指出,并非对一切类型的方程组都可以Cauchy问题,有例子表明,当特征方程(7.2.6)有复根时,方程组(7.2.1)的Cauchy问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解和叙述,这里仅讨论两个自变量的对角型方程组的Cauchy问题。

  13. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3.1 解的存在性和唯一性

  14. 第7章 特征理论 偏微分方程组

  15. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.3.2 解的稳定性

  16. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4 定理

  17. 第7章 特征理论 偏微分方程组

  18. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.2 Cauchy 问题的化简 首先,把高阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。 其次,我们可以把一个一阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶拟线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的微商取作新的未知函数,然后这些新的未知函数对时间变量求微商,并利用已知方程式即得。 Cauchy问题(7.4.2)化为如下的一阶拟线性 C-K 型方程组的Cauchy问题:

  19. 第7章 特征理论 偏微分方程组 于是,C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为 C-K型定理的证明用的是强函数的方法,即用一个明显可解出的问题与所考虑的问题相比较,故须要介绍强函数的概念。

  20. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.3 强函数

  21. 第7章 特征理论 偏微分方程组 • 7.4.4 C-K 定理的证明 (1) 唯一性(幂级数解法)。 (2) 存在性(强函数方法)。 附注 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性,并没有保证整体解的存在性。 附注 2 由证明知,若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数,则在初始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知,把这些解粘合在一起,就得到 的一个领域中的解析解。 附注 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外,其证明本质上依赖与解析性假设。

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