多元函数的极限

1. 多元函数的极限 主要：二元函数的极限 或 或 或

2. 例 设 按定义证明： [分析] 证：

3. 要使 只要 即 取 则当 就有 按定义得：

4. 注意： 在二元函数的极限定义中 意味着： 沿任意路径 在D中当 时， 都有

5. 沿路径1 当 沿路径2 当 时， 的极限不存在 如果 在D中 则

6. 例 考察函数 当 时的极限。 解： (1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时, (2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,

7. (3)当点P(x,y)沿直线y=kx (k≠0) 趋于点(0,0)时 （其值随k 的不同而改变）

8. 二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数 从而得到 n元函数的极限概念. 多元函数的极限也具有与一元函数的极限类似的 运算法则. 注 二元函数的极限也称为二重极限.

9. 例 求 [ ]

10. 定义 设二元函数f(x,y)的定义域为D 为D的聚点，且 .如果 则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续. 二元函数的连续性概念，可相应地推广到 n元 函数 上. 多元函数的连续性 如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或称f(x,y)是D上的连续函数.

11. 二元函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)处连续，必须满足以下三个条件，即： (1)函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)处有定义 (2)函数z=f(x,y)在点P0(x0 ,y0)处有极限. (3)函数z=f(x ,y)在点P0(x0,y0)处的极限值等于该点的 函数值，即： 函数f(x,y)在点(x0, y0)处连续 怎么写？

12. 定义设函数f(x,y)的定义域为D， 是D的聚点.如果函数 f(x,y) 在点 不连续，则称点 为函数 f(x,y) 的间断点. 其定义域 ，O(0,0)是D的聚点. 因为f(x,y)当 时的极限不存在， 例如函数 所以点O(0,0)是该函数的一个间断点。

13. 圆周 上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，所以 f(x,y) 在C上各点都不连续，即：圆周C上各点都是该函数的间断点. 又如函数 其定义域为 间断线

14. 一元函数可以看成二元函数的特例（即另一个变元一元函数可以看成二元函数的特例（即另一个变元 不出现）。

15. 取 从而有 即 按定义得：

16. 注 上述定理表明： 一元连续函数看成二元函数时仍是二元连续函数。 类似地，有： 一元连续函数看成多元函数时仍是多元连续函数。 所以 因一元基本初等函数都是连续函数， 一元基本初等函数看成二元函数或多元函数时 仍是连续函数。

17. 多元连续函数的和、差、积、 商 仍为连续函数； 多元连续函数的复合函数仍是连续函数. 定义 由常数与具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到，并且可用 一个数学式子表示的多元函数，称为多元初等函数。 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用. 根据多元函数的极限运算法则，可以证明: 由此可得： 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。 定义区域：包含在定义域内的区域或闭区域。

18. 例如 都是初等函数。

19. 利用初等函数的连续性，可以来求极限。 从而有

20. 例 解 函数 是初等函数 它的定义域为

21. 例 求 解：

22. 注 多元函数的极限具有与一元函数的极限类似的性质。 如：无穷大与无穷小的关系， 无穷小的性质， 等价无穷小代换， 两边夹准则 等。

23. 例 解 （有界量乘以无穷小还是无穷小）

24. （ ） 例 解 （两边夹准则）

25. 例 怎样定义函数 解 只需令 的值即可。 因此，只要求出

26. （洛必达法则）

27. 有界闭区域上的多元连续函数有如下的性质： 性质1(有界性与最大值最小值定理): 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值. 性质2(介值定理): 在有界闭区域D上的多元连续函数必可取到介于最大值和最小值之间的任何值.

28. 小结： 多元函数的定义 多元函数的极限概念（特别是二元函数的极限 即：二重极限 ） 注意：趋近方式的任意性 多元函数的连续概念 多元初等函数的连续性 有界闭区域上的多元连续函数的性质

29. 作 业 P62，习题9-1， 6 - 9