第一讲 规划理论及模型

1. 第一讲 规划理论及模型 一、引言 二、线性规划模型 三、整数线性规划模型 四、0-1整数规划模型 五、非线性规划模型 六、多目标规划模型 七、动态规划模型

2. 一、引言 我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起. 其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 它 在运筹学中处于中心的地位. 这类问题一般可以 归结为 数学规划模型.

3. 规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越 来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事 行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从92-06年全国大学生数模竞 赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出 现了15次，占到了50%，也就是说每两道竞赛题 中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解.

4. 二、线性规划模型 线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的标准形式 例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.

5. 解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 其次食谱中第 i 种营养素的含量为 因此上述问题可表述为：

6. 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.

7. 目标函数 价值向量 价值系数 决策变量 右端向量 系 数 矩 阵 非负约束 自由变量 线性规划模型的三种形式 ⑴ 一般形式

8. ⑵ 规范形式 ⑶ 标准形式 三种形式的LP问题全都是等价的，即一种形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，且它们有相同的解. 以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式.

9. z o x -z 目标函数的转化

10. 约束条件和变量的转化 ①．为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一般形式的LP中，一个等式约束 可用下述两个不等式约束去替代

11. 对于一个无符号限制变量 ，引进两个非负变量 和 ，并设 这样就把一般形式的LP变换为规范形式.

12. ②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，必须消除其不等式约束和符号无限制变量.②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行. 对于一个不等式约束 用 可引入一个剩余变量， 代替上述的不等式约束.

13. ，用 对于不等式约束 可引入一个松弛变量 代替上述的不等式约束 这样就把一般形式的LP变换为标准形式.

14. 2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判 断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不

15. 是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求解过程可参见文献[1].是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求解过程可参见文献[1]. 然后在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是标准形式. 比较常用的求解线性规划模型的软件包有LINGO和LINDO.

16. 例2.设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 运输问题 资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？

17. A B C D 销 运 地 费 产 地 甲 21 25 7 15 乙 51 51 37 15 表 1.1

18. 甲 乙 D C B A 解

20. 一般的运输问题可以表述如下：

21. 数学模型：

22. 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即 ，则称该问题为平衡的运输问题. 否则，称为不平衡的运输问题，包括： 总产量>总销量和总产量<总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.

23. 显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，因而当然可以运用单纯形方法求解. 但由于平衡的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法，该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来，很方便地实行了运输问题的求解. 关于运输问题及其解法的进一步介绍参加文献[2].

24. 三、整数线性规划模型 对于线性规划问题，如果要求其决策变量取 整数值，则称该问题为整数线性规划问题. 对于整数线性规划问题的求解，其难度和运 算量远大于同规模的线性规划问题. Gomory割 平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性 规划问题的方法（见文献[1]）. 此外，同线性规 划模型一样，我们也可以运用LINGO和LINDO软 件包来求解整数线性规划模型.

25. 以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例，说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包如何求解整数线性规划模型。 例3. 有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车 上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以 cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的. 表1给出 了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板 车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片 那样），载重为40t. 由于当地货运的限制，对于

26. C5, C6, C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这 类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm. 试 把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间最小.

27. 为在第 节车上装载第 件包装箱的 解 令 下面我们建立该问题的整数线性规划模型。

28. 1) 约束条件 两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即： 每节车可装的长度不能超过车能提供的长度： 每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：

29. 对于C5, C6, C7类包装箱的总数的特别限制： 2) 目标函数 浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：

30. 3) 整数线性规划模型

31. 4) 模型求解 运用LINGO软件求解得到： 5) 最优解的分析说明 由上一步中的求解结果可以看出， 即为最优 的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm， 两节车共装箱的总长度为2039.4cm. 但是，上述求解结果只是其中一种最优的 装车方案，即此答案并不唯一.

32. 四、0-1整数规划模型 0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求 线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1. 0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的 算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简 单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤 条件）的穷举法. 我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求 解0-1整数规划模型.

33. 例4. 有 n 个物品，编号为1, 2, …, n，第 i 件物品 背包问题 重 ai 千克，价值为 ci元，现有一个载重量不超过 a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最 大，应如何装载这些物品？ 用变量 xi表示物品 i 是否装包，i =1, 2, …, n， 解 并令：

34. 可得到背包问题的规划模型为：

35. 例5. 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能 指派问题 做一件， 第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如 何合理安排时间才能使总用时最小？ 引入状态变量 xij，并令： 解 则总用时表达式为：

36. 可得到指派问题的规划模型为：

37. 上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形 式，还有许多其它的诸如人数与任务数不等、及 某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务， 某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题. 但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式. 对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈 牙利算法实现求解. 它将指派问题中的系数构成 一个矩阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合 解的判定条件，实现求解（见文献[2]）.

38. 问题二的分析 DVD在线租赁第二个问题的求解 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量. 我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.

39. 假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成DVD的租与还. 同时假设网站对其会员进行一次租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁. 经观察，可以认为在线订单中每个会员的预定DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排序为1，2，3的三张DVD时，满意度达到100% .会员没有预定的DVD对其满意度的贡献为0 .

40. 利用层次分析法，对此满意指数的合理性进 行了简单分析. 该问题要求根据现有的100种DVD的数量和当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定分配策略，使得会员达到最大的满意度. 因而我们认为只需对这些DVD进行一次性分配，使得会员的总体满意度达到最大. 为此考虑建立优化模型，进行求解.

41. 问题二的模型及求解 经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素. 在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量. 我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.

45. 由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：

46. 根据所得的0-1整数线性规划模型，利用LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分配方案（见表3） . 该组最优解其目标函数会员总体最大满意度为91.56%，只有6人未成功租赁（如：前30名会员中C0008被分配到DVD），其余994个会员全都得到了3张预定的DVD .

47. 再见