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《 幾何原本 》 淺釋

《 幾何原本 》 淺釋. 梁子傑 香港道教聯合會青松中學. 下列人物，在他們的生平事跡中， 有甚麼共通之處？. 阿基米德 （ Archimedes; 287 B.C.  212 B.C. ）. 林肯 （ Lincoln; 1809  1865 ）. 羅素 （ Russell; 1872  1970 ）. 清聖祖 康熙 （ 1654  1722 ）. 高斯 （ Gauss; 1777 - 1855 ）. 下列人物，在他們的生平事跡中， 有甚麼共通之處？. 原來他們在年青的時候，都曾經閱讀過一本數學經典鉅著： 《 幾何原本 》 。.

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《 幾何原本 》 淺釋

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  1. 《幾何原本》淺釋 梁子傑 香港道教聯合會青松中學

  2. 下列人物，在他們的生平事跡中，有甚麼共通之處？ 阿基米德（Archimedes; 287 B.C.  212 B.C.） 林肯 （Lincoln; 1809  1865） 羅素（Russell; 1872  1970） 清聖祖 康熙（1654  1722） 高斯（Gauss; 1777 - 1855）

  3. 下列人物，在他們的生平事跡中，有甚麼共通之處？下列人物，在他們的生平事跡中，有甚麼共通之處？ 原來他們在年青的時候，都曾經閱讀過一本數學經典鉅著：《幾何原本》。 「如果歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，那麼你就不是一個天才的科學家了。」 ～～愛因斯坦

  4. 《幾何原本》 • 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約公元前 330  約公元前 275） • 歐幾里得的《幾何原本》是用公理方法建立演繹數學體系的最早典範。

  5. 泰勒斯（開始了命題證明） 公元前 600 年 畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」及發現不可公度量） 公元前 500 年 柏拉圖（成立「柏拉圖學園」） 公元前 400 年 歐多克索斯（創立比例論、計算錐體體積） 公元前 300 年 歐幾里得（撰寫《幾何原本》） 阿基米德（計算圓周率、球體體積等） 公元前 200 年 《幾何原本》的背景

  6. 《幾何原本》的內容 • 全書共分 13 卷，包括： • 5 條公設、5 條公理 • 119 個定義 • 465 條命題

  7. 《幾何原本》的內容 • 第一卷　幾何基礎篇 • 第二卷　幾何代數 • 第三及第四卷　圓形及正多邊形 • 第五卷　比例論 • 第六卷　相似圖形 • 第七、八、九卷　數論 • 第十卷　不可公度量 • 第十一至第十三卷　立體幾何

  8. 重要命題舉例 • 命題 I.47　在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形面積等於夾於直角兩邊上正方形面積之和。 註： 這亦即是著名的「畢氏定理」。

  9. 證明

  10. 證明

  11. 證明

  12. 證明

  13. 證明 b2 a2 c2  a2 + b2 = c2

  14. 重要命題舉例 • 命題 II.12　在鈍角三角形中，鈍角所對的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和大一個矩形的二倍。即由一銳角向對邊的延長線作垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構成的矩形。 c c2 (a2 + b2) = 2  ad b d 即 c2 = a2 + b2 + 2ad a a • 註：命題 II.12 就是現時常用的「餘弦公式」。

  15. 重要命題舉例 • 命題 III.20　在一個圓內，同弧上的圓心角等於圓周角的二倍。 • 命題 IV.4　求作已知三角形的內切圓。 • 命題 IV.5　求作已知三角形的外接圓。 • 命題 IV.11　求作已知圓內接等邊且等角的五邊形。

  16. 重要命題舉例 • 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 • 註：這命題指出質數有無窮多個！

  17. 證明 假設質數祇有有限多個。 由此可設最大質數為 P。 定義 Q = 2  3  5  7  …  P + 1 明顯，將 Q除以任何質數都餘 1， 所以 Q亦應是質數。 因此，Q是一個比 P還要大的質數！ 這是不可能的 !!! 所以質數有無窮多個。（證完）

  18. 重要命題舉例 • 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 • 註：這命題指出質數有無窮多個！ • 命題 XII.10　圓錐是與它同底等高的圓柱的三分之一。

  19. 公理系統 雞先？蛋先？

  20. 公理系統 雞先？蛋先？ 有物混成，先天地生。寂兮寥兮，獨立而不改，周行而不殆，可以為天下母。吾不知其名，字之曰道。 ～～摘自《道德經》第二十五章

  21. 公理系統 定義 公設、公理 命題 定義 命題 命題 定義 命題 命題

  22. 公　設 1. 由任意一點到任意一點可以作直線。

  23. 公　設 2. 一條有限直線可以繼續延長。

  24. 公　設 3. 以任意的點為圓心及任意的線段為距離可以畫圓。

  25. P R ADC = PSQ S Q 公　設 4. 凡直角皆相等。 A B C D

  26. 公　設 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線某一側的兩個內角之和小於二直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交。  1 a b a + b < 180 2

  27. 公　理 1. 等於同量的量彼此相等。 即當 a = c，b = c 時，a = b。 2. 等量加等量，其和仍相等。 即當 a = b，c = d 時，a + c = b + d。 3. 等量減等量，其差仍相等。 即當 a = b，c = d 時，ac = bd。 4. 彼此能夠重合的物體是全等的。 5. 整體大於部分。

  28. 第一卷中主要命題的關係 公設、公理 ASA SAS 平行線性質  內角和 SSS  和平行四邊形面積關係 畢氏定理 AAS 外角定理 三角不等式 平行線存在 畢氏定理逆定理

  29. 對《幾何原本》的批評 • 書中有部分的定義不清晰，閱後反而令人更迷惘。

  30. 第一卷中的定義 1. 點是沒有部分的。 2. 線祇有長度而沒有寬度。 3. 一線的兩端是點。 4. 直線是它上面的點一樣地平放著的線。 5. 面祇有長度和寬度。 6. 面的邊緣是線。 7. 平面是它上面的線一樣地平放著的面。

  31. 對《幾何原本》的批評 • 書中有部分的定義不清晰，閱後反而令人更迷惘。 • 在論證過程之中，歐幾里得使用了一些公理系統未有提及的假設。

  32. ？ 未曾提及的假設 • 命題 I.1　在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。

  33. 公理系統的完善 • 希爾伯特（David Hilbert; 1862  1943） • 1899年發表著名的《幾何基礎》一書。 • 引入了 20 條公理和 6 個不加解釋的定義，建立起新的幾何公理系統。

  34. 公理系統的完善 • 6 個不加解釋的定義包括： • 「點」、「線」、「面」、「通過」、「在 … 之間」、「相等」 • 20 條公理分成 5 組： • 關聯公理（I. 18）、順序公理（II. 14）、合同公理（III. 15）、平行公理（IV.）、連續公理（V. 12） • 希爾伯特同時提出選擇公理系統的原則： • 相容性、獨立性、完備性

  35. 對《幾何原本》的批評 • 書中有部分的定義不清晰，閱後反而令人更迷惘。 • 在論證過程之中，歐幾里得使用了一些公理系統未有提及的假設。 • 對第 5 公設的懷疑。

  36. 公　設 平 行 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線某一側的兩個內角之和小於二直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交。  1 a b a + b < 180 2

  37. 毋須第 5 公設 必須第 5 公設 第一卷中主要命題的關係 公設、公理 ASA SAS 平行線性質  內角和 SSS  和平行四邊形面積關係 畢氏定理 AAS 外角定理 三角不等式 平行線存在 畢氏定理逆定理

  38. 非歐幾何的產生 • 後世數學家認為第 5 公設是正確的，但它不應該是「公設」，而是一條可以被證明的「命題」。 • 奇怪的是，經過了二千年的時間，都未能找到對第 5 公設的一個合理證明！

  39. 非歐幾何的產生 • 到了十九世紀，波爾約和羅巴切夫斯基分別地證實，即使否定了第 5 公設，我們仍然可以得到一個沒有矛盾的幾何體系。 波爾約 (1802  1860 ) 羅巴切夫斯基 (1792  1856 ) • 從而得知第 5 公設名符其實，是一條公設！

  40. 推薦閱讀 李文林著 高等教育出版社 藍紀正、朱恩寬譯 九章出版社 蕭文強著 九章出版社

  41. 網上資源 • 網上閱讀《幾何原本》http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/ elements/elements.html • MacTutor History of Mathematicshttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ ~history/ • 梁子傑網上文集http://jckleung.ccss.edu.hk/

  42. 子傑 梁 完 多謝！

  43. 《幾何原本》淺釋 梁子傑 香港道教聯合會青松中學

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