урок 11

1. Площадь многоугольника урок 11

2. 1) Какой многоугольник называется описанным около окружности? • 2) Какая окружность называется вписанной в многоугольник? • 3) Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник? Что является центром вписанной окружности? • 4) Каким свойством обладает четырехугольник, описанный около окружности? • 5) Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности равны 7 см и 10 см. Можно ли по эти данным найти периметр четырехугольника? • 6) Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) трапецию; • 7) Можно ли определить вид трапеции, если: а) около нее можно описать окружность; б) в нее можно вписать окружность? • 8) Верно ли следующее утверждение; «Центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают»?

3. Новый материал • Изобразим произвольный выпуклый n-угольник, пусть n=6. • Вопросы • - Как можно найти площадь данного многоугольника? • - Каким образом его можно разбить на треугольники? • Вывод. Площадь произвольного многоугольника можно находить, разбивая его на треугольники. При этом площадь многоугольника будет равна сумме площадей этих треугольников.

4. Теперь изобразим окружность и опишем около нее n-угольник, пусть n=5. • Разобьем его на треугольники, имеющие общую вершину – центр окружности, опустим из нее высоты на противоположные стороны полученных треугольников. • Какой вывод можно сделать о площади многоугольника?

5. Следствие.Площадь правильного n-угольника выражается формулой где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной окружности. Теорема. • Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

6. Доказательство. • Многоугольник, описанный около окружности, можно представить составленным из треугольников, сторонами a1, …, anкоторых являются стороны данного многоугольника, • а высоты h1, …, hnравны радиусу r вписанной окружности. Поэтому площадь S многоугольника равна сумме площадей треугольников S = a1r + … + anr = (a1 + … +an)r,

7. Пусть теперь дан правильный описанный около окружности n-угольник со стороной a. • P=na. • Площадь правильного n-угольника выражается формулойS =n ar, • где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной окружности

8. Упражнение 1 Около окружности, радиуса 2 см, описан многоугольник, периметра 4 см. Найдите его площадь. Ответ: 4 см2.

9. Упражнение 2 Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса 3 см, равна 6 см2. Найдите периметр многоугольника. Ответ: 4 см.

10. Упражнение 3 Периметр четырехугольника равен 100 м. Может ли его площадь быть меньше одного квадратного метра, если этот четырехугольник: а) параллелограмм; б) прямоугольник; в) ромб; г) квадрат; д) трапеция? Ответ:а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) да.

11. Упражнение 4 Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника. Ответ: 10 см2.

12. ЗАДАЧА №1 C a • Около окружности описан четырехугольник. Найдите площадь четырехугольника, если две его противоположные стороны равны а и b, радиус окружности равен R. B D b A AB+CD=BC+AD=a+b (по свойству описанного четырехугольника) P=2(a+b) S= (a+b)R

13. ЗАДАЧА №2 • Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса: а) 3 см: б) b.

14. ЗАДАЧА №3 • Докажите, что площадь Sn правильного n - угольника со стороной a, вписанного в окружность радиуса R, вычисляется • по формуле Sn= n a Rcos

15. R h

16. Упражнение 4 Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника. Ответ: 10 см2.

17. ЗАДАЧА №4 • Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

18. Треугольник ABC1- искомый C1

19. Задание на дом • 1. Выучить теорию (п. 61 учебника). • 2. Решить задачи.№3,4,16,20