單元五互質與同餘

單元五互質與同餘 電影終極警探第三集裡，有一段這樣的劇情：歹徒設置了定時炸彈，不讓它引爆的方法是以4公升的水壓著，但主角警察與他的臨時搭檔手邊只有兩個沒有刻度的容器，一個裝滿水是5公升，另一個是3公升，請問他們可以不讓炸彈引爆嗎？

噴泉那兒應該有兩個桶子，你看見它們了嗎？

一個5加侖，一個3加侖

將其中一個桶子精確注入4加侖的水

然後把它放在天平上，計時器就會停止

幾個類似問題 • 以5兩重及7兩重的砝碼，能否在天平上秤得6兩重的物品？ • 有一個的杯子，裝滿是8 C.C.，現倒滿了酒，利用另兩個較小的空杯，容量分別是5 C.C.及3 C.C.，可以將8 C.C.的酒平分嗎？ • 利用一個7分鐘和一個4分鐘的沙漏能否測得6分鐘？9分鐘呢？關鍵在於3和5、5和7及4和7，這三組數字共同的規則

質數與合數 • 一個數字如果只能寫成1和本身相乘，若要將它排成長方形，則只能排成一列，例如：2、3、5、7或11。這樣的數字，在數學上稱為質數。 • 若一個數字可以排成2列以上的長方形，這樣的數字稱為合數，例如：4、6、8或15。 • 一個合數至少可以排成兩個的長方形（含一個一列的），這些長方形中，分別代表長與寬的數字，稱為這個合數的因數，因數若同時是質數，就稱為質因數，例如15的質因數為3和5。

難以想像的事 • 在電腦發明之前一百年，一位八十二歲的數學家得到下列結果： • 1903年，一位美國數學家，在一場演講中不發一語，只寫下以下的結果，就獲得所有聽眾起立鼓掌喝采。

現代的網路家族GIMPS • 一個利用電腦科技發掘形如的質數的網路家族 • GIMPS的M，是Mersenne(梅森)的縮寫，一位十七世紀時的法國神父，形如的數被稱為梅森數 • 2006年的九月，該組織公布了最新的質數

互質 • 兩個數除了1以外，若沒有其他相同的因數，這樣的關係稱為互質 • 兩個質數一定是互質的 • 互質的兩數一定可以找到另外兩數，分別與其相乘後再相減（大的減小的），而結果是1 ，例如： 3與5互質， 3×7－5×4＝1， 5×2－3×3＝1 • 所以終極警探可以量得4公升的水

餘數 • 韓信點兵劉邦想捉拿韓信，但不知他的兵力究竟如何？便問韓信有多少兵卒？韓信答：「啟奏陛下，兵不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二」。陳平絞盡腦汁無法算出，連張良也說「兵數無法算，不可數」。

鬼谷神算 今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？ • 最早出現於《孫子算經》中，後來被西方數學家稱為「中國剩餘定理」 • 「三三數之賸二」，用現代的話來說，就是被3除餘2，也就是此數的因數沒有3，或說此數不是3的倍數。 • 一個數若被不是它的因數來除，一定會產生所謂的餘數

同餘 2010年9月

甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同，稱甲數和乙數對丙數為同餘，丙數稱為模甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同，稱甲數和乙數對丙數為同餘，丙數稱為模 • 同餘的兩數之差必為模的倍數 • 月曆中，位於同星期序日(例如星期二)的日期對7為同餘，因為一週有7天。想要知道100天後是星期幾，就是以7為模來看。 • 想要知道15年後的生肖年，便以12為模來看 • 而天干地支便是以60為模來看

密碼 • 國際書碼（ISBN），共有10個數字(2007年起為了與歐洲的書品條碼13個數字一致，遂於原10個數前加"978"三個代表圖書業的前置碼)，前9個數字有其特定涵義，最後一個為檢查碼。此檢查碼是將前9個碼依序乘以1、2、3、…、9，再把所得的新的9個數字相加，再以11為模計算餘數而得。例如：網路小說家痞子蔡的「孔雀森林」這本書的ISBN為9867440536

一個數被11除，餘數有可能是10，此時的檢查碼便以英文字母X來代替，以維持10個數碼一個數被11除，餘數有可能是10，此時的檢查碼便以英文字母X來代替，以維持10個數碼 • 為何不以10為模呢？這樣不是可以把餘數都保持為0到9嗎？就可以避免當檢查碼是10時，需以X來代替的麻煩了。答案：不行關鍵在11為質數，而10的因數有2和5 。所以第2或5個碼數若抄錯，便無法判斷正確的國際書碼了，例如將上述的ISBN的第5個數字4改為6，此時的正確與錯誤的檢查碼皆為2，因為182和192對10同餘，但對11不同餘(6和5)。

類似這樣的想法，在西方被運用來將所要傳遞的訊息加密，推廣成所謂的密碼學。類似這樣的想法，在西方被運用來將所要傳遞的訊息加密，推廣成所謂的密碼學。 • 古老的密碼羅馬帝國的凱撒密碼：每個字母被其之後的第三個字母所替代例如：「Ｉ LOVE YOU」變為「L ORYH BRX」也就是：以0至25代表英文字母A至Z，加密的方式是將之加3後以26為模中國周朝兵書《六韜‧龍韜》

現代有名的RSA加密法 1977年三位美國人，設計了一套稱為RSA（取他們的姓的第一個字母而得）的編碼方式第一步：產生兩個很大的質數p,q 第二步：計算m＝p×q，n＝m－(p＋q)＋1 第三步：選一個小於n且與互質的數a 第四步：找一個數k，使得k×a被n除餘1

同年的8月，有個研究小組用一個129位數的m和一個4位數的a，將一個代表某訊息的128位數編碼得X ，並在美國的一份科學類的雜誌上刊登，懸賞獎金給第一位破解密碼的人。

17年後，1994年的4月，X被解出來了，但不是由一個人獨力完成，是由一批分散在20多個國家，六百多位對找因數有興趣的人，透過網際網路合作破解的。不過，這套編碼系統仍是現今最安全的，因為基本上給一個很大的合數，要找出其因數還是很困難的，只要提高m的位數，RSA法編出的密碼要被破解可能得花一輩子的時間。

頭腦體操 在日常生活中，一群朋友相聚時，有時我們會好奇對方的月薪，但開口問人每月的收入是不禮貌的。退而求其次吧。想想看有沒有辦法知道一群人的平均月薪，而不洩露每個人的月薪？

作業請寫出下列問題的解答過程。 1.有一個的杯子，裝滿是8 C.C.，現倒滿了酒，利用另兩個較小的空杯，容量分別是5 C.C.及3 C.C.，可以將8 C.C.的酒平分嗎？ 2.利用一個7分鐘和一個4分鐘的沙漏能否測得6分鐘？9分鐘呢？

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