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單元五 互質與同餘

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單元五 互質與同餘 - PowerPoint PPT Presentation


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單元五 互質與同餘. 電影 終極警探 第三集裡,有一段這樣的劇情:歹徒設置了定時炸彈,不讓它引爆的方法是以 4 公升的水壓著,但主角警察與他的臨時搭檔手邊只有兩個沒有刻度的容器,一個裝滿水是 5 公升,另一個是 3 公升,請問他們可以不讓炸彈引爆嗎?. 噴泉那兒應該有兩個桶子,你看見它們了嗎?. 一個 5 加侖,一個 3 加侖. 將其中一個桶子精確注入 4 加侖的水. 然後把它放在天平上,計時器就會停止. 幾個類似問題. 以 5 兩重及 7 兩重的砝碼,能否在天平上秤得 6 兩重的物品?

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Presentation Transcript
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單元五 互質與同餘

電影終極警探第三集裡,有一段這樣的劇情:歹徒設置了定時炸彈,不讓它引爆的方法是以4公升的水壓著,但主角警察與他的臨時搭檔手邊只有兩個沒有刻度的容器,一個裝滿水是5公升,另一個是3公升,請問他們可以不讓炸彈引爆嗎?

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幾個類似問題
  • 以5兩重及7兩重的砝碼,能否在天平上秤得6兩重的物品?
  • 有一個的杯子,裝滿是8 C.C.,現倒滿了酒,利用另兩個較小的空杯,容量分別是5 C.C.及3 C.C.,可以將8 C.C.的酒平分嗎?
  • 利用一個7分鐘和一個4分鐘的沙漏能否測得6分鐘?9分鐘呢?

關鍵在於3和5、5和7及4和7,這三組數字共同的規則

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質數與合數
  • 一個數字如果只能寫成1和本身相乘,若要將它排成長方形,則只能排成一列,例如:2、3、5、7或11。這樣的數字,在數學上稱為質數。
  • 若一個數字可以排成2列以上的長方形,這樣的數字稱為合數,例如:4、6、8或15。
  • 一個合數至少可以排成兩個的長方形(含一個一列的),這些長方形中,分別代表長與寬的數字,稱為這個合數的因數,因數若同時是質數,就稱為質因數,例如15的質因數為3和5。
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難以想像的事
  • 在電腦發明之前一百年,一位八十二歲的數學家得到下列結果:
  • 1903年,一位美國數學家,在一場演講中不發一語,只寫下以下的結果,就獲得所有聽眾起立鼓掌喝采。
gimps
現代的網路家族GIMPS
  • 一個利用電腦科技發掘形如 的質數的網路家族
  • GIMPS的M,是Mersenne(梅森)的縮寫,一位十七世紀時的法國神父,形如 的數被稱為梅森數
  • 2006年的九月,該組織公布了最新的質數
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互質
  • 兩個數除了1以外,若沒有其他相同的因數,這樣的關係稱為互質
  • 兩個質數一定是互質的
  • 互質的兩數一定可以找到另外兩數,分別與其相乘後再相減(大的減小的),而結果是1 ,例如:

3與5互質, 3×7-5×4=1, 5×2-3×3=1

  • 所以終極警探可以量得4公升的水
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餘數
  • 韓信點兵

劉邦想捉拿韓信,但不知他的兵力究竟如何?便問韓信有多少兵卒?韓信答:

「啟奏陛下,兵不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二」。

陳平絞盡腦汁無法算出,連張良也說「兵數無法算,不可數」。

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鬼谷神算

今有物不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二,問物幾何?

  • 最早出現於《孫子算經》中,後來被西方數學家稱為「中國剩餘定理 」
  • 「三三數之賸二」,用現代的話來說,就是被3除餘2,也就是此數的因數沒有3,或說此數不是3的倍數。
  • 一個數若被不是它的因數來除,一定會產生所謂的餘數
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同餘

2010年9月

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甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同,稱甲數和乙數對丙數為同餘,丙數稱為模甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同,稱甲數和乙數對丙數為同餘,丙數稱為模
  • 同餘的兩數之差必為模的倍數
  • 月曆中,位於同星期序日(例如星期二)的日期對7為同餘,因為一週有7天。想要知道100天後是星期幾,就是以7為模來看。
  • 想要知道15年後的生肖年,便以12為模來看
  • 而天干地支便是以60為模來看
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密碼
  • 國際書碼(ISBN),共有10個數字(2007年起為了與歐洲的書品條碼13個數字一致,遂於原10個數前加"978"三個代表圖書業的前置碼),前9個數字有其特定涵義,最後一個為檢查碼。此檢查碼是將前9個碼依序乘以1、2、3、…、9,再把所得的新的9個數字相加,再以11為模計算餘數而得。例如:網路小說家痞子蔡的「孔雀森林」這本書的ISBN為9867440536
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一個數被11除,餘數有可能是10,此時的檢查碼便以英文字母X來代替,以維持10個數碼一個數被11除,餘數有可能是10,此時的檢查碼便以英文字母X來代替,以維持10個數碼
  • 為何不以10為模呢?這樣不是可以把餘數都保持為0到9嗎?就可以避免當檢查碼是10時,需以X來代替的麻煩了。

答案:不行

關鍵在11為質數,而10的因數有2和5 。

所以第2或5個碼數若抄錯,便無法判斷正確的國際書碼了,例如將上述的ISBN的第5個數字4改為6,此時的正確與錯誤的檢查碼皆為2,因為182和192對10同餘,但對11不同餘(6和5)。

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類似這樣的想法,在西方被運用來將所要傳遞的訊息加密,推廣成所謂的密碼學。類似這樣的想法,在西方被運用來將所要傳遞的訊息加密,推廣成所謂的密碼學。
  • 古老的密碼

羅馬帝國的凱撒密碼: 每個字母被其之後的第三個字母所替代

例如:「I LOVE YOU」變為「L ORYH BRX」 也就是:以0至25代表英文字母A至Z,加密的方式是將之加3後以26為模

中國周朝兵書《六韜‧龍韜》

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現代有名的RSA加密法

1977年三位美國人,設計了一套稱為RSA(取他們的姓的第一個字母而得)的編碼方式

第一步:產生兩個很大的質數p,q

第二步:計算m=p×q,n=m-(p+q)+1

第三步:選一個小於n且與互質的數a

第四步:找一個數k,使得k×a被n除餘1

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同年的8月,有個研究小組用一個129位數的m和一個4位數的a,將一個代表某訊息的128位數編碼得X ,並在美國的一份科學類的雜誌上刊登,懸賞獎金給第一位破解密碼的人。
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17年後,1994年的4月,X被解出來了,但不是由一個人獨力完成,是由一批分散在20多個國家,六百多位對找因數有興趣的人,透過網際網路合作破解的。

不過,這套編碼系統仍是現今最安全的,因為基本上給一個很大的合數,要找出其因數還是很困難的,只要提高m的位數,RSA法編出的密碼要被破解可能得花一輩子的時間。

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頭腦體操

在日常生活中,一群朋友相聚時,有時我們會好奇對方的月薪,但開口問人每月的收入是不禮貌的。退而求其次吧。想想看有沒有辦法知道一群人的平均月薪,而不洩露每個人的月薪?

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作業

請寫出下列問題的解答過程。

1.有一個的杯子,裝滿是8 C.C.,現倒滿了酒,利用另兩個較小的空杯,容量分別是5 C.C.及3 C.C.,可以將8 C.C.的酒平分嗎?

2.利用一個7分鐘和一個4分鐘的沙漏能否測得6分鐘?9分鐘呢?