第 4 章 计算机辅助 设计 (2)

1. 第4章 计算机辅助 设计(2) Ⅳ Computer Aided Design ( CAD )

2. 4.3.4数据的公式拟合方法 在实际工程问题中，时常需要用一定的数学方法将一系列测试数 据或统计数据拟合成近似的经验公式，这种建立经验公式的过程也 称为曲线拟合，或称数据公式化。 曲线拟合，目前一般采用最小二乘法拟合。 拟合公式的类型通常可以选取线性方程、代数多项式或一些初等 函数。这一工作由编程人员根据线图或实验数据分布形态来决定。 工程应用中，一般采用最小二乘法多项式拟合。所求曲线并不要 求严格通过所有结点，而是尽可能反映所给数据的趋势。下面介绍： ●最小二乘法的多项式拟合 ●最小二乘法的其他函数的拟合

3. 1. 最小二乘法的多项式拟合 已知：由线图或实验所得 m个点的值： 图4-12最小二乘法多项式拟合

4. 用一个 n次多项式y(x)来拟合， 如图4-12所示，设拟合公式为： （4-10） 而且 m >> n，则每一结点处的偏差为：

5. 为获得最佳拟合曲线，根据最小二乘法原理，即要求每一结点的为获得最佳拟合曲线，根据最小二乘法原理，即要求每一结点的 偏差 D i 的平方和最小，则结点偏差的平方和为： （4-11） 　　这表明偏差平方和是系数的函数。为使其最小， 取对各自变量的偏导数等于零：

6. 求各偏导数并经整理得到： （4-12） 令 得 即 （4-13）

7. 亦可写成下面的方程组： （4-13）

8. 上式中待求的系数共有 (n +1)个， 方程也是 (n +1)个，因此组成 线性联立方程组， 解此线性联立方程，即可求得多项式y(x)中的各项系数。 在求得多项式 y(x)中的各项系数后， n次多项式(4-10)便确定：

9. 例4-4　 有一组实验数据，如下表4-c所示，它有 7个点， 　现要求用二次多项式拟合。 表4-c　　一组实验数据

10. 解：设经验公式为： 　　根据上述实验数据及经验公式可知： m＝7，n＝2， 代入式(4-12)，得以下三个方程： j＝0时 j＝1时 j＝2时

11. 把Xi，Yi用上表中的值代入，得 求解得： 最后得到拟合的经验公式为 工程中设计资料中的很多经验公式，就是对实验获得的数据数表通过曲线拟合的方法得来的。

12. 2. 最小二乘法的其他函数的拟合 除代数多项式外，根据情况还可采用： (1)幂函数 (2)指数函数 (3)对数函数 （4-14） （4-15） （4-16） 例如，若已知 m组数据，i＝1，2，…，m， 假设所拟合的指数函数曲线形式为： （2-17） 对上式指数函数两边取对数，得 （2-18） lg y = lga + b lg x 令： （2-19）

13. 代入上式，得 （2-20） 先将已知数据代入式(2-19)中，求得相应的 值，再代入式得到在对数坐标系中的一个线性方程。 　　与多项式曲线拟合相似，采用最小二乘法就可以得到上式中的系 数v和 b，再由 lg a＝v求得系数a。

14. 4.3.5数据文件及其应用 将数据以数组的形式存入计算机内存中，虽然解决了数表和线图 在CAD计算程序中的存储和检索问题，但存在下列不足： (1)需要占用大量的内存。 (2)前述数据的存取方法，包括公式化处理，其处理后的数表 和线图与特定的CAD计算程序相联，使得这些数表和线图只能在该程 序中使用，不能被其他程序共享。 　　因此，前述数据的处理方法一般只适用于使用数表和线图较少的 简单程序。 为了克服这种方法的不足，较为完善的方法是将数据与计算程序 分开、单独建立数据文件。

15. 文件是信息（数据与字符）的集合。 　　将数表和线图中的数据按指定的文件名存放在计算机外存储装 置（磁盘、磁带等）上，就可建立用户的数据文件，当CAD计算程 序需要使用到某一个数表或线图中的数据时，只需用适当的程序语 句（文件操作语句）将它们从外存中调入计算机内存。 建立数据文件的方法不仅解决了前述方法存储数据时需要占用 大量内存的问题，而且可使数据文件独立于计算程序，且一个数据 文件可供不同的计算程序调用，较好地解决了数据的共享问题。

16. 图4-f　 数据文件的调用示意图

17. 4.4机械工程数据库的创建与应用 数据库系统是在文件系统的基础上发展起来的一门新型数据管 理技术。它是一种能够 “ 管理大量的、持久的、可靠的、共享的数 据的工具 ” 。 数据库技术不仅可以处理CAD系统的大量工程数据，而且大 大完善和提高了CAD系统数据处理的效率和可靠性。因此，数据 库已经成为现代CAD系统不可缺少的重要组成部分。

18. 4.4.1数据库与数据库管理系统 　　在现代CAD系统中，为了适应CAD作业的需要，须把各类工程 数据结构和文件组织方式建立起数据库及其管理系统。 　　下面简要介绍一下数据库与数据库管理系统。 ►数据库及其特点 ► 常用的数据库管理系统

19. 1.数据库及其特点 所谓数据库就是一个存储着关联数据的数据集合。它由一系列各种组织形式的数据文件组成。 数据库是在文件系统的基础上发展起来的。 与文件系统不同，数据库系统的工作模式如下图4-b所示，即在数据系 统中，应用程序并不直接操作数据库，而是通过数据库管理系统(DBMS)对数据库进行操作。 图4-g　数据库与应用程序

20. 数据库管理系统是建立、使用、管理和维护数据库的软件，实现对数据库的安全性、完整性和保密性的统一控制。数据库管理系统是建立、使用、管理和维护数据库的软件，实现对数据库的安全性、完整性和保密性的统一控制。 与文件系统相比，数据库系统具有以下特点： （1）实现了数据共享，减少了数据冗余。 （2）数据存储结构化。 （3）增强了数据的独立性。 　　（4）加强了对数据的保护。

21. 2.常用的数据库管理系统 　　目前流行的数据库管理系统很多，诸如： ►dBASE； ►FOXBASE； ►FOXPRO； ►ORACLE等。 但它们都属于事务管理型关系数据库管理系统，更适合于管理科学的应用领域。 由于CAD作业所涉及的数据较为复杂，因而真正面向CAD系统的工程数据库管理系统(EDBMS)还有待进一步的开发。

22. 4.4.2关系数据库管理系统应用实例简介 l.电子表格处理软件Excel 在计算机提供的海量表格上填写内容，进行数据处理和数据分 析，内置函数用于求和、求平均值、计算三角函数等操作 。 建立数据库：Excel数据库是按行和列组织起来的信息集合， 每行称为一个记录，每列称为一个字段；对数据库的记录进行查询 、排序、汇总等操作。 进行数据分析： 只需为每一个分析工具提供必要的数据和参 数，该工具就会使用适宜的统计或工程函数，在输出表格中显示相 应的结果。其中的一些工具在生成输出表格时还能同时产生图表。 　　可从其它的数据库（Access，FoxPro，SQL Server等）引入数据。

23. 2.数据库管理系统Access Access 是 Microsoft Office中的一个组件，是Windows下的一个功能强大的桌面数据库管理系统。 它的主要特点包括： (1) 无须编写代码，只要通过直观的可视化操作，就能完成大部分数据管理工作。 (2) 能够与 word、Excel 等办公软件进行数据交换。 (3) 在 “向导” 的引导下，操作者能够快速完成基本数据库系统的设计。 (4) 支持开放数据库接口 OBDC，这就意味着 Access 能同其它 数据库系统进行数据交换。通过文本类型数据的导入，可以实现数 据库与高级程序设计语言之间的联接。

24. 　在 Access中，创建数据库有两种方法： 第一种，使用 “数据库向导”，先选择一种数据库类型，在向导的引导下完成数据库的基本建设； 第二种，建立空数据库，然后向其中添加表、窗口、报表等对象。 无论采用哪种方法，在建立数据库之后，都需要对数据库进行修、 改、增、删等操作。 　　进行数据库设计的主要内容是根据需求确定数据库中的表、定义 表之间的关系，并在此基础上完成各种查询和报表的设计。

25. 4.4.3 工程数据库 数据库技术最初主要是应用于事务管理领域。随着CAD/CAM 技术的发展，它开始应用于工程中，出现了工程数据库管理系统 (EDBMS)。 目前，工程数据技术还不十分成熟。因此，研究开发适应 CAD/CAM系统工程应用特点的工程数据管理系统已是一项十分重 要的课题。 ►工程数据类型及特点 ►EDBMS设计应考虑的问题 ►工程数据库管理系统（EDBMS）的开发方法

26. 1. 工程数据类型及特点 在事务型管理领域中，数据类型是比较单一的，主要是文字型， 且呈静态。 而在工业领域中，由于数据库要支持整个生产过程，因此数据是 非常复杂的。工程数据类型主要有 4 种： (1) 管理型数据 　　主要包括产品设计与制造种所用到的数据资料。如各种技术资料、 标准等。数据相对稳定。 (2) 设计型数据 　　指在工业设计与制造中产生的数据。 例如：设计的产品结构数据、加工工艺路线等。

27. 设计型数据的特点有以下几点： ● 数据是动态的，预先人们不知，只是在设计过程中才产生。 ● 基于设计-评价-再设计的典型工业设计流程，使设计型数据频繁改动。 (3) 图形数据 包括各种工程图表，二维工程图形，三维集合造型等数据，这类数据也是呈动态的。 (4) 各种软件包 是指一些能够独立处理局部设计的工程计算或图形处理软件。如有限元分析、强度校核、三维图形显示等。这类数据具有独立功能，在必要时可以被激活。

28. 2.EDBMS设计应考虑的问题 基于工程数据的复杂性，故在 EDBMS 设计中应考虑以下几个方面的问题： (1)数据类型的多样性 由于工程数据中可以是文字型、设计型、图形数据、各种软件包 以及它们的组合类型，因此要求EDBMS能够存储及处理多种数据类型。 (2) 数据模型复杂性 传统的三种数据模型（层次型、网络型及关系型）在工程应用中 均不能满足工程数据处理及管理的需要。因此，在工程数据库文件 中，数据模型应在原有的三个传统模型的基础上加以扩充或将它们按 照集中方式组合，以满足数据与关系的复杂性。

29. (3) 概念模式的动态性 由于工程数据的动态性，存储数据的结构也应随之呈动态性， 因而概念模式也必须是呈动态的。 (4)界面设计 在管理型数据库系统中，其界面是以人-机对话方式对数据库进 行操作，而在EDBMS中，设计者以交互方式进行操作、检索数据库 和激活某一软件包。

30. 3.工程数据库管理系统的开发方法 目前，工程数据库管理系统(EDBMS)的开发方法有以下三种： (1)一般数据库管理系统与图形文件系统相结合 这种方法是利用一般数据库管理系统的优点，辅之以图形处理的 手段，从而集成为一个工程数据库管理系统。 这样，对于设计中的非图形数据，可以方便地由一般数据库系统 进行管理，而涉及的图形数据，可以利用图形文件系统进行管理。 (2)扩展已有的DBMS 利用已有的某个DBMS为核心，按照CAD工程应用的要求，扩 展完善成一个EDBMS。

31. (3) 自行开发 这种方法是将CAD以及工程应用的特殊需要融于 DBMS内 部，用统一的方式来存取、修改图形数据和非图形数据。 该方法虽是一条比较彻底、比较全面地解决 CAD以及工程应 用中数据管理的方法，但设计和实现这样 EDBMS，是一项非常复 杂而庞大的工作，况且在这个领域中，现在还没有形成很成熟的基 础。

32. 4.5计算机图形处理与三维造型 CAD工作中的人机交换信息，主要是通过图形功能来实现。 　　一方面，设计对象的几何形状必须采用图形进行描述； 　　另一方面，图形又是表达和传递信息的有效形式。 　　目前，CAD技术在我国的应用有如下三种基本方式： (1) 直接采用二维CAD软件绘制工程图。 (2) 软件二次开发。 　　即在二维CAD软件的基础上，采用编程的方法，为特定的产品专门 开发具有参数化设计功能的软件，以加快了特定产品的开发速度。 (3) 三维参数化设计。

33. 4.5.1 计算机绘制工程图的常用方法 目前，实现计算机绘图的方法主要有两种： ●参数化绘图 ● 交互式绘图 (1) 参数化绘图 参数化绘图方法就是通过编制绘图程序来构成图形。 这种绘图方法适用于结构形状基本固定而结构尺寸参数变化的图形输入。 该法优点是图形生成效率较高，其缺点是要求用户必须掌握程 序设计语言和方法，且编程复杂。

34. 图4-h 为参数化绘图。 图4-h(a)所示图形的基本参数为D1, D2, D3, L1和L2，当参数的数 值发生变化时，输出的图形也随之变化，如图4-h(b)所示。 (a) (b) 图4-h 参数化绘图

35. (2) 交互式绘图 交互式绘图方法，就是通过交互式绘图软件所提供的各种绘图命 令、菜单可方便、迅速在计算机屏幕上构成图形，并可将图形信息存 于磁盘，以供再用或可继续对图形进行编辑和修改。 这种绘图方法的优点，是无需编程即可生成图形，用户使用简单 方便。 　　其缺点是所生成的图形无法实现参数化，另对较为复杂的图形输 入则效率很低。 目前最常用的典型交互式绘图软件如Auto CAD、PICAD等。

36. 计算机绘图的主要任务是研究如何利用计算机来处理和绘制工计算机绘图的主要任务是研究如何利用计算机来处理和绘制工 • 程图纸，其具体内容包括： • ● 图形输入 • ● 图形的生成、显示和输出 • ● 图形处理所需要的数学处理方法及算法 • ● 解决工程实际应用中的图形处理问题 • ●应用软件工程的方法设计绘图软件和管理系统

37. 4.5.2 坐标系 图形的描述和输入输出都是在一定的坐标系中进行的，因而，应 根据不同的需要，建立不同的坐标系以及它们之间的转换关系，最终 使图形显示于屏幕上。 在计算机绘图中，共涉及到的坐标系包括下列三种： ●用户坐标系 ●设备坐标系 ●规格化坐标系

38. 1. 用户坐标系 它是由用户定义的应用坐标系，是一个二维或三维的直角坐标 系，如图4-14所示。 它用来定义用户在二维或三维世界中的物体，又称世界坐标系。 用户坐标系的取值范围是无限的，与任何物理设备无关。 用户的图形定义均在这个坐标系中完成。 在应用程序中所描述的图形（包括点、线段和字符等）均是在用户坐标系中进行定义的。 图4-14　 用户坐标系

39. 2. 设备坐标系 图形输出设备（如显示器，绘图机）自身都有一个坐标系，称为 设备坐标系或物理坐标系。 设备坐标系是一个二维平面坐标系，如图4-14(c)所示。 它的度量单位是象素（显示器）或步长（绘图机），因此它的取 值范围是有界的且为整数。例如，对显示器而言，分辨率就是其设备 坐标的界限范围。

40. 3. 规格化坐标系 由于用户的图形是定义在用户坐标系里，而图形的输出定义在设 备坐标系里，它依赖于具体的图形设备。由于不同的图形设备具有不 同的设备坐标系，其不同的设备之间坐标范围也不尽相同，显然这使 得应用程序与具体的图形输出设备有关，给图形处理及应用程序的移 植带来不便。为了便于图形处理，引入与设备无关的规格化坐标系。 规格化坐标系，采用一种无量纲的单位代替设备坐标，当输出图 形时，再转换为具体的设备坐标。 规格化坐标系的取值范围是左下角（0, 0），右上角（1.0,1.0）， 如图4-14(b)所示。

41. 在图形处理中，上述三种坐标系的转化关系如下图4-15所示。在图形处理中，上述三种坐标系的转化关系如下图4-15所示。 (a)用户坐标系 　 　　 (b)规格化坐标系　　　 　　　(c)设备坐标系 图4-15三种坐标系的关系

42. 由规格化坐标系转化为屏幕坐标系的关系式： （4-14） 式中：S l —— 为屏幕长度方向的像素数； S w ——为屏幕宽度方向的像素数； X n，Y n——为规格化坐标； X s，Y s——为屏幕坐标。

43. 4.5.3 二维图形的几何变换 在计算机绘图时，经常要对某些图形的进行平移、放大、缩小及 旋转等处理，这些就是图形的几何变换问题。它是计算机图形学中应 用极为普遍的基本内容之一。 利用图形变换可以用一些简单的图形组合成比较复杂的图形。 由几何学可知，体是由若干面构成，而面则是由线组成，点的运动轨迹便是线。因此，构成图形的最基本要素是点。 　　在二维空间中，可用(x, y) 表示平面上的一个点； 　　在三维空间中，可用(x, y, z) 表示空间中的一点。 　　由于构成图形的基本要素是点，因而，可用点的集合（简称点集）来表示一个平面图形或一个三维立体，写成矩阵的形式为：

44. 这样，便建立了平面图形和空间立体的数学模型。这样，便建立了平面图形和空间立体的数学模型。

45. 1. 齐次坐标与变换矩阵 用一个 n＋1维矢量表示一个n维矢量的方法，称为齐次坐标法。 点 P(x, y) 在齐次坐标系中表示为 P(kx，ky，k)，其中 k 是任一不为零的实数。由此可见，一个 n 维矢量的齐次坐标表示不唯一。 在对二维图形进行几何变换的运算中，齐次坐标常取为 [x, y, 1]。 　　平面上一点P(x, y)，在经几何变换后达另一新位置 ， 这一变换过程可用一行矢量[x, y, 1]与一个3×3的变换矩阵A 相乘的 矩阵运算来表达，即 （4-15）

46. 将点P转变为 P*的过程称为变换，矩阵 A称为变换矩阵。 变换后点P*的坐标为： 矩阵A中：a，b，d，e可以产生比例、旋转、反射和剪切等变换； c，f可产生平移变换。

47. 2.基本几何变换 二维图形的基本几何变换类型包括： ●平移变换 ●比例变换 ●旋转变换 ●反射变换 ●剪切变换等。

48. (1) 平移变换 　　将二维图形从平面的一个位置移动到另一个位置，可用平移变换。 平移变换后，图形只发生位置改变，形状大小及姿态均不变化。 设 Tx 为x 向平移量， Ty 为y向平移量，平移变换的变换矩阵为 ： 平移变换结果可见图4-16。 图4-16 平移变换

49. (2) 比例变换 设 S x 为 x向的比例系数， S y 为 y向的比例系数，则比例 变换的变换矩阵为： 当 S x，S y <1时， 图形缩小； S x，S y >1时，图形放大； S x，S y＝1时，图形不变化。 图4-17所示的比例变换 中，S x＝S y＝2。 图4-17比例变换

50. 图4-18　旋转变换 (3) 旋转变换 点或平面图形绕坐标原 点旋转一定角度θ之后成为 变换后的点或图形，如图4- 18所示。 旋转变换矩阵为： 逆时针方向旋转，θ取正值； 顺时针方向旋转，θ取负值。 旋转变换后，图形的形状及大小不发生变化，只改变姿态。