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第六章定积分及其应用. 教学目的及基本要求 : 1. 使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。 2. 使学生学会用定义计算、证明某些定积分。 3 使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极限。 4 通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体会数 学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及 数形结合方法。 5. 掌握定积分的性质 . 重点与难点： 概念及性质 。 课时： 4 学时. y. 和. 所围成. a. o. b. x. §6.1 定积分的概念. 6.1.1 定积分问题举例.
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第六章定积分及其应用 教学目的及基本要求: 1.使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。 2.使学生学会用定义计算、证明某些定积分。 3使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极限。 4通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体会数 学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及 数形结合方法。 5.掌握定积分的性质. 重点与难点：概念及性质 。 课时：4学时
y 和 所围成 a o b x §6.1 定积分的概念 6.1.1 定积分问题举例 1.曲边梯形的面积
y y a a o o b b x x 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
曲边梯形面积为 曲边梯形面积的近似值为
2.变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
部分路程值 某时刻的速度 （3）求和 （4）取极限 路程的精确值 （1）分割 （2）近似代替
6.1.2 定积分的定义 定义
积分和 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 被积表达式 记为
定理1 下面给出几个函数可积性定理 定理2 两个规定
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义
性质1 证 6.2 定积分的性质 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2 证
性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）
性质4 性质5 证 L l = D D D max{ x , x , , x } 1 2 n
（1） 证 性质5的推论：
（2） 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论：
性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）
性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知
使 即 积分中值公式的几何解释：
解 由积分中值定理知有 使
