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第一章 空間向量

第一章 空間向量. 1-2空間向量的坐標表示法. 目錄. 1-2空間向量的坐標表示法 甲、空間坐標系 乙、空間向量 丙、空間向量的線性組合. 圖 1-7. 甲、空間坐標系. 請看課本 p.18. 在空間中任取一點 O 稱為原點 , 過原點 O 作兩兩互相垂直的三條直線 , 在直線上各取一個方向為正向 , 另一方向為負向 , 且取適當長度為單位長 , 則此三條直線即成為以 O 為原點的數線 , 我們稱此三數線為 x 軸 , y 軸與 z 軸 , 通稱為 坐標軸 , 此三坐標軸與原點 O 構成了空間的坐標系（直角坐標系） , 如：.

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第一章 空間向量

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  1. 第一章 空間向量 1-2空間向量的坐標表示法

  2. 目錄 • 1-2空間向量的坐標表示法 • 甲、空間坐標系 • 乙、空間向量 • 丙、空間向量的線性組合

  3. 圖1-7 甲、空間坐標系 請看課本p.18 • 在空間中任取一點O稱為原點, 過原點O作兩兩互相垂直的三條直線, 在直線上各取一個方向為正向, 另一方向為負向, 且取適當長度為單位長, 則此三條直線即成為以O為原點的數線, 我們稱此三數線為x軸, y軸與z軸, 通稱為坐標軸, 此三坐標軸與原點O構成了空間的坐標系（直角坐標系）, 如： 兩兩互相垂直的三直線, 可視為 「前後」、「左右」與「上下」三個方向. 且為使坐標系簡潔, 坐標軸的負向通常省略不畫.  例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  4. 甲、空間坐標系 請看課本p.18 • 對於空間坐標系, 我們常採用右手系的坐標系, 也就是說, 當我們的右手掌伸直大拇指朝上, 四指由伸直變成握拳的彎曲方向時, 是從x軸的正向旋轉90°到y軸的正向, 此大拇指所指的方向為z軸的正向. 圖1-8 註：本書中如果沒有特別聲明, 都是採用右手系的 空間坐標系. 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  5. 圖1-9 甲、空間坐標系 請看課本p.19 • 空間坐標系中, 由x軸與y軸所決定的平面稱之為xy平面, 由y軸與z軸所決定的平面稱之為yz平面, 由z軸與x軸所決定的平面稱之為zx平面, 此三平面通稱為坐標平面. 且三坐標平面將空間分成八個部分, 每一部分都稱為一個卦限, • 通常我們將三個坐標軸皆為正向的 • 部分稱為第一卦限, 其他七個部分 • 就不給特別的順序編號. 同學可將附錄三的圖(n)裁拼成如左之立體圖形.  空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  6. 圖1-10 請看課本p.19 • 一、空間中點的坐標 • 有了空間坐標系後, 要如何定出空間中點P的坐標, 我們敘述如下： • 過P 點分別向x軸, y軸及z軸作垂線, 得垂足分別為A點, B點及C點. 若A , B , C三點在數線 x軸 , y軸 , z軸上的坐標分別為a , b , c, • 則稱P 點的坐標為 ( a , b , c ), • 記為P ( a , b , c ) , 其中a , b , c • 也分別稱為P點的x坐標, • y坐標與z坐標. 空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  7. 請看課本p.19 • 註：若過P點先作xy平面的垂線, 得垂足為Q, 再過 • Q點作x軸的垂線, 得垂足為A, 由三垂線定理 • 知其結果等同於過P點直接向x軸作垂線所得 的垂足. 空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  8. 圖1-11 請看課本p.20 • 由上面的作法, 我們知道： • xy平面上點坐標為(a, b, 0), • yz平面上點坐標為(0, b, c), • zx平面上點坐標為(a, 0, c). • x軸上點坐標為(a, 0, 0), • y軸上點坐標為(0, b, 0), • z軸上點坐標為(0, 0, c). • 反之, 若給定一組有序實數組( a, b, c ), 要如何在空間中定出坐標為( a, b, c ) 的點呢? 如上圖所示： 空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  9. 請看課本p.20 • 在數線 x軸 , y軸 , z軸上分別找到以a , b , c為坐 • 標的三點A , B , C . • 過A點作垂直於x軸的平面, • 過B點作垂直於y軸的平面, • 過C點作垂直於z軸的平面, • 則此三平面交於一點P, • 由直線垂直平面的定義知, 垂直x軸於A, 垂直y軸於B, 垂直z軸於C, • 故點P即為以(a,b,c)為坐標的點. 空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  10. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 空間座標3D 空間座標3D 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  11. 例題1 請看課本p.20 • 如圖1-11, 若O ( 0, 0, 0 ) 為原點, P 點坐標為 • ( 2, 3, 4 ), 試求長方體 • SAQP-COBR其他頂點的 • 空間坐標. • 如右圖, 長方體COAB-GDEF • 中, 頂點O在坐標原點上, • 且邊 在x軸的負向上, 邊 與邊 分別 • 在y軸, z軸的正向上, 若 • 試寫出各頂點的空間坐標. • 解： •  A( 2, 0, 0 ), Q ( 2, 3, 0 ), B ( 0, 3, 0 ),C ( 0, 0, 4 ), S ( 2, 0, 4 ), R ( 0, 3, 4 ). 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  12. 例題1 請看課本p.20 如右圖, 長方體COAB-GDEF 中, 頂點O在坐標原點上, 且邊 在x軸的負向上, 邊 與邊 分別在y軸, z軸的正向上, 若 , 試寫出各頂點的空間坐標. • 解： • O ( 0, 0, 0 ),A ( 0, 5, 0 ) , B ( 0, 5, 3 ),C ( 0, 0, 3 ),D (–4, 0, 0 ),E (–4, 5, 0 ),F (–4, 5, 3 ),G (–4, 0, 3 ) . 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  13. 隨堂練習1 請看課本p.21 如右圖, 長方體BAOC-GFEH中, 頂點O在坐標原點上, 且過O的 三邊在坐標軸上, 若點O的對 頂點G的坐標為 ( –2, –3, 1 ) , 試求長方體其他頂點的空間坐標. 如右圖, 長方體FEDG-BAOC中, 頂點O在坐標原點上,且邊 , 邊 分別在 x軸, z軸的正向上, 邊 在y軸的負向上,若 試寫出各頂點的空間坐標. 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  14. 隨堂練習1 請看課本p.21 如右圖, 長方體BAOC-GFEH中, 頂點O在坐標原點上, 且過O的 三邊在坐標軸上, 若點O的對 頂點G的坐標為 ( –2, –3, 1 ) , 試求長方體其他頂點的空間坐標. • 解： • O(0, 0, 0), A(0, –3, 0), B(0, –3, 1),C(0, 0, 1), E(–2, 0, 0), F(–2, –3, 0), H(–2, 0, 1). 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  15. 隨堂練習1 請看課本p.21 如右圖, 長方體FEDG-BAOC中, 頂點O在坐標原點上,且邊 , 邊 分別在 x軸, z軸的正向上, 邊 在y軸的負向上,若 試寫出各頂點的空間坐標. • 解： • O(0, 0, 0), A(0, –5, 0), B(0, –5, 3), C(0, 0, 3), D(4, 0, 0), E(4, –5, 0), F(4, –5, 3), G(4, 0, 3). 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  16. 圖1-12 請看課本p.21 • 二、空間中兩點的距離公式 • 設P1 ( a1, b1, c1) , P2 ( a2, b2, c2) • 為空間中兩點, 假設a1a2, b1b2, • c1c2, 過P1, P2兩點分別作三平 • 面垂直於三個坐標軸, 則此六個 • 平面圍成一個長方體, • 如右圖所示, 其稜長分別為 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  17. 請看課本p.21 • 所以由畢氏定理得 • 即 • 註：上述公式在 或 或 時, 依然成立, 此部分請同學自行驗證. • 點P ( a , b , c ) 到原點O的距離為 • . 例題 1 隨堂練習1 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  18. 例題2 請看課本p.22 點P ( 3 , –4, 5 ) 為空間中一點, O為原點, 試分別求： P點到xy平面, yz平面, zx平面 的距離. P點到x軸, y軸, z軸以及原點 的距離. 若Q ( 5 , 2 , 8 ) 為空間中另一點, 試求 長. 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  19. 例題2 請看課本p.22 點P ( 3 , –4, 5 ) 為空間中一點, O為原點, 試分別求： P點到xy平面, yz平面, zx平面 的距離. • 解： •  P點到xy平面的投影點為(3,–4,0), • 所以其距離為 , • P點到yz平面的投影點(0,–4,5), • 所以其距離為 , 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  20. 例題2 請看課本p.22 點P ( 3 , –4, 5 ) 為空間中一點, O為原點, 試分別求： P點到xy平面, yz平面, zx平面 的距離. • 解： • P點到zx平面的投影點為(3,0,5), • 所以其距離為 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  21. 例題2 請看課本p.22 點P ( 3 , –4, 5 ) 為空間中一點, O為原點, 試分別求： P點到x軸, y軸, z軸以及原點的距離. • 解： • P點到x軸的投影點為(3,0,0), 所以其距離為 • P點到y軸的投影點為 (0,–4,0),所以其距離為　　　　　　　 • P點到z軸的投影點為(0,0,5), • 所以其距離為 • P點到原點的距離為 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  22. 例題2 請看課本p.22 點P ( 3 , –4, 5 ) 為空間中一點, O為原點, 試分別求： 若Q ( 5 , 2 , 8 ) 為空間中另一點, 試求 長. • 解 • . 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  23. 隨堂練習2 請看課本p.22 點P ( a , b, c ) 為空間中一點, 試在下列空格中 填入適當的值. 空間中三點O ( 0 , 0 , 0 ) , P ( 12 , 6 , –4 ) , Q ( 6 , 10 , –16 ) , (1)試求 , 與 長. (2)試證 為等腰直角三角形, 並說明哪一 角為直角. 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  24. 隨堂練習2 請看課本p.22 點P ( a , b, c ) 為空間中一點, 試在下列空格中 填入適當的值. • 解： •  例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  25. 隨堂練習2 請看課本p.22 空間中三點O ( 0 , 0 , 0 ) , P ( 12 , 6 , –4 ) , Q ( 6 , 10 , –16 ) , (1)試求 , 與 長. (2)試證 為等腰直角三角形, 並說明哪一 角為直角. • 解： • (1) 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  26. 隨堂練習2 請看課本p.22 空間中三點O ( 0 , 0 , 0 ) , P ( 12 , 6 , –4 ) , Q ( 6 , 10 , –16 ) , (1)試求 , 與 長. (2)試證 為等腰直角三角形, 並說明哪一 角為直角. • 解： • (2) 因為 且 = • 所以 為等腰直角三角形,其中 為直角. 例題 1 隨堂練習1 返回 下一主題 例題 2 隨堂練習2

  27. 乙、空間向量 請看課本p.23 • 一、空間向量及其性質 • 我們在第三冊第三章中曾對一般向量（不侷限在平面向量）的相等﹑加減法﹑係數乘法等作過介紹, 並得到一些相關性質. 我們先以一例來說明： 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  28. 例題3 請看課本p.23 右圖 IEFJ-HOGK為一平行六面體, 且 , , , 試完成下列各問題： 以 表示 .以一個向量表示 .以一個向量表示 .以 表示 . 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  29. 例題3 請看課本p.23 右圖 IEFJ-HOGK為一平行六面體, 且 , , , 試完成下列各問題： 以 表示 . • 解： •  都在底面平行 • 四邊形OEFG上,如右圖, • 依向量加法之平行四邊形法知 • 又 • 所以 • 故得 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  30. 例題3 請看課本p.23 右圖 IEFJ-HOGK為一平行六面體, 且 , , , 試完成下列各問題： 以一個向量表示 . • 解： •  由知 , • 而 張出一平行四邊形OFJH, • 又由平行四邊形法知 • 知 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  31. 例題3 請看課本p.23 右圖 IEFJ-HOGK為一平行六面體, 且 , , , 試完成下列各問題： 以一個向量表示　　　　　　　. • 解： •  在側面平行四邊形OGKH上, • 所以 . • 而 張出一平行四邊形OEJK, • 又由平行四邊形法知 • 知 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  32. 例題3 請看課本p.23 右圖 IEFJ-HOGK為一平行六面體, 且 , , , 試完成下列各問題： 以 表示 . • 解： • 綜合得知 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  33. 隨堂練習3-1 請看課本p.24 右圖為一平行六面體, 試以一個向量表示下列各組向量的和或差:  .  .  .  . • 解： •  •  •  •  前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  34. 請看課本p.24 • 在例題3的討論中： • 由可知在空間中, 向量的加法仍具有結合的,事實上, 一般向量的加法都具結合性. • 空間中, 任意兩個相異向量依平行四邊形法知其和會在同一平面上. • 我們把向量的性質重述如下： 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  35. 請看課本p.24 • 設 為兩任意向量, m,n為兩任意實數, 則 •  . (加法交換律) •  . (加法結合律) •  . •  . •  . • . •  . • 為兩非零向量, 存在非零實數k,使得 . •  . 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  36. 請看課本p.25 • 二、空間向量的坐標表示法 • 1. 空間向量的坐標表示法 • 有了空間坐標系之後, 空間中的向量, 我們也可以用坐標來表示. • 設O為坐標空間的原點, P (a,b,c)為坐標空間中的一點, 則以O為始點, P為終點的有向線段所表示的量 , 稱為P點的位置向量, • 其大小為 , 方向是射線OP所指的方向. 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  37. 圖1-13 請看課本p.25 • 對於空間中任一向量 , 我們可將其平行移動, 使其始點移至原點O, 則其終點 必恰落在某一點P上, 因此我們 就用點 坐標 (a,b,c) 來表示向量 , 記為 =(a,b,c), 稱為向量 的坐標表示法. • 其中a稱為 的 x分量, b稱為 的 y分量, c稱為 • 的 z分量, 其長度 . • 註：坐標原點O的位置向量為, 即. 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  38. 隨堂練習3-2 請看課本p.25 • 解： 設 , , 試求 , . 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  39. 請看課本p.25 • 對於坐標空間中的任一 • 向量 , 則點 • P(a,b,c)在x軸, y軸, z軸上的 • 垂足分別為A(a,0,0), B(0,b,0), • C(0,0,c), • 若我們令 , , • 分別為x軸, y軸, z軸正向上的單位向量, • 即 • 則由向量的係數乘法知 圖1-14 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  40. 請看課本p.26 • 因此, 由向量的加法得 , • 又點P在各坐標軸的垂足是唯一的, 所以對任一向量 均可以唯一寫成 的形式, • 即 • 例如： 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  41. 請看課本p.26 • 2. 空間向量的加減法與係數乘法之坐標表示法 • 空間向量以坐標表示時,向量的加減法與係數乘法,有如下的性質： • 設　　　　　　　　　　　 為空間中兩向量, • 則 • 　 • 　 • 證： 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  42. 請看課本p.26 • 設　　　　　　　　　　　 為空間中兩向量, • 則 • 　 • 　 • 證： • 根據向量的運算性質可得 前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  43. 請看課本p.26 • 設　　　　　　　　　　　 為空間中兩向量, • 則 •  • 　 • 證： •  前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  44. 請看課本p.26 • 設　　　　　　　　　　　 為空間中兩向量, • 則 • 　 •  • 證： •  前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  45. 例題4 請看課本p.27 設 , 為空間中兩向量, 若 , 試求： .  . • 解： •  •  前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  46. 隨堂練習4-1 請看課本p.27 • 設 , , 為空間中三向 • 量, 若 , 試求： • .  . • 解： •  •  前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  47. 圖1-15 請看課本p.27 • 對於坐標空間中兩點 • 　　　　　 由於 • 且 • 因此, 我們可得空間中 的坐標表示法： • 若　　　　　　　　　　　為空間中兩點, • 則 . 終點坐標–始點坐標.  前一主題 例3 隨堂3-1 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  48. 隨堂練習4-2 請看課本p.27 空間中,若B(7,1,2),且 , 試求A點坐標. • 解： • 設A點坐標為(x, y, z), 則 • 得 7 – x = –1, 1 – y = 1, 2 – z = –5, • 即 x = 8, y = 0, z = 7, • 所以A點坐標為(8, 0, 7). 前一主題 例3 隨堂3-1 返回 下一主題 隨堂3-2 例4 隨堂4-1 隨堂4-2

  49. 丙、空間向量的線性組合 請看課本p.28 • 一、平面向量的線性組合 • 如圖1-16的平行六面體 • GAED-COBF中O, A, B, E • 這四個點都是同一平面上的點, • 我們稱 這三個向量 • 共平面； • 另外像O, A, B, C這四個點不在同一平面上, • 因此 三向量不共面. 圖1-16 前一主題 隨堂5-1 隨堂6-1 例6 下一主題 例5 隨堂5-2 隨堂6-2

  50. 請看課本p.28 • 仿照平面向量的線性組合, 若 為空間中的三向量, x,y,zR, 我們稱 為 的線性組合, 為 的線性組合. • 平面向量中我們說明了：當 與 為兩不平行的向量時, 則平面上的任一向量 都可寫成 與 的線性組合, 且此種線性組合的表示法是唯一的. • 在空間向量中, 也有類似的性質： 前一主題 隨堂5-1 隨堂6-1 例6 下一主題 例5 隨堂5-2 隨堂6-2

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