Дано : ∆ ABC, AK=KB, AM=MC Доказать: KM || BC , KM =0,5 BC Доказательство:

1. A K M B C • Дано: ∆ ABC, AK=KB, AM=MC • Доказать: KM || BC, KM=0,5 BC • Доказательство: • Из условия AK=KB следует • → → • AK = 0,5 AB • Из условия AM=MC следует • → → • AM = 0,5 AC • → → → → → → → → • Но KM = AM – AK = 0,5 AC – 0,5 AB = 0,5 (AC – AB) = 0,5 BC • Полученное равенство утверждает, что • KM || BC и KM = 0,5 BC, что и требовалось доказать.

2. Докажите свойство средней линии трапеции B C M K O A D МК – средняя линия. Проведем BO. CK = KDBC || AD < BCK = <KDO <CKB = < DKO ∆ KCB = ∆ KDO Значит, KB = KO и BC = DO Имеем: MK – средняя линия ∆ ABO и MK = 0,5 (AD + DO) = 0,5 (AD + BC) и MK || AD

3. α B α α α A C D Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам Построим CK || BD и продолжим AB до пересечения с CK (см. рис). Используя свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, докажем, что ∆ BKC - равнобедренный. Так как стороны <KAC пересечены двумя параллельными прямыми BD и KC, то AB:BK = AD:DC или AB:BC = AD:DC K

4. B α K α α A C D II способ доказательства Проведя DK || AB, получим равнобедренный ∆BDK, т.к. <DBK = <BDK. Из подобия треугольников ABC и DKC следует, что AB:BC = DK:KC = BK:KC, но BK:KC = AD:DC следовательно AB:BC = AD:DC

5. B C M T K A D E Соотношения в трапеции. Дано: ABCD – трапеция BC || AD AB = CB BE ┴ AD MK - средняя линия Доказать, что MK = ED