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第二章

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第二章. 電 阻 電 路. 2.1 克希荷夫定律 2.2 歐姆定律 2.3 等效次電路 2.4 串聯等效電路和分壓 2.5 並聯等效電路的分析 2.6 戴維寧和諾頓等效電路 總 結. 簡單且常用的電路元件是 電阻 。所有電的導體均有電阻的特性,金屬內的電流乃因電子碰撞排列規律的原子晶格所形成,當然因碰撞也妨礙或阻止電子的移動,碰撞次數愈多,產生的阻抗愈大;其它物質的電荷載子與自由電子流經晶格時的週遭環境可能不同,但電荷移動受到阻力的原理是相同的。. 2.1 克希荷夫定律. 克希荷夫 電流定律 和克希荷夫 電壓定律 。

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第二章

電 阻 電 路

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2.1 克希荷夫定律
  • 2.2歐姆定律
  • 2.3等效次電路
  • 2.4串聯等效電路和分壓
  • 2.5 並聯等效電路的分析
  • 2.6戴維寧和諾頓等效電路
  • 總 結
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簡單且常用的電路元件是電阻。所有電的導體均有電阻的特性,金屬內的電流乃因電子碰撞排列規律的原子晶格所形成,當然因碰撞也妨礙或阻止電子的移動,碰撞次數愈多,產生的阻抗愈大;其它物質的電荷載子與自由電子流經晶格時的週遭環境可能不同,但電荷移動受到阻力的原理是相同的。
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2.1 克希荷夫定律
  • 克希荷夫電流定律和克希荷夫電壓定律。
  • 電路乃包含兩個以上電路元件,以完美導體連接,而完美導體是容許電流無阻抗的通流導線 ( 無電荷累積或電壓降,且無功率和能量耗損 ) 若電路以此界定,那能量須考慮能完全集中在每一電路元件內,因而稱此種電路為集總電路。
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節點

(a) 三節點電路;(b) 重繪同一電路。

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克希荷夫電流定律 (KCL)
  • 二個以上電路元件連接在一點,這接點稱為節點。
  • 進入任何節點的電流代數和為零。
  • 進入任何節點的電流和,等於離開此節點的電流和。
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例題2.1一KCL例題,求圖2.3中

電流?

1街街

2

3

4

圖2.3KCL例題

進入節點的電流和為

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克希荷夫電壓定律 (KVL)
  • 任何封閉路徑的電壓降代數和為零
  • 沿著一封閉路徑的電壓昇代數和等於零

在封閉路徑周圍的電壓

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例題2.2  使用KVL求圖2.5的 。以a點開始順時針繞行迴路得

或 。若從b點開始逆時針繞行得

兩者得相同結果。以壓昇和的形式可得兩種相同的方程式:第一種從b開始以逆時針繞行;另一種從a開始以順時針方向繞行。最後,順時針表示壓降等於壓昇,得

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例題2.3  使用KCL和KVL求圖2.6中,全部未知的電流和電壓值。

右迴路以順時針繞,得電壓降和為

左迴路得

左迴路的等式因先前已知 ,可代入得 ;若 未知,要求 ,可利用外部迴路得

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此處可得知,跨於該元件的電壓降與相同兩節點間任何路徑的壓降和相同。

接著求未知電流,在左上節點依KCL流進的和等於流出的總和得

此節點右邊的節點為

其中 流出,且3A和-2A兩者流入(+2A流出相當於-2A流入)。

故在右節點

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右下節點得

最後

電路上的同一元件其克希荷夫定律完全相同;只有在拓撲電路還需考慮此元件是如何互相連接。

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例題2.4  在圖2.7中,若 且 ,求得電流為

若R改為 ,則在相同電壓,電流變為

過程可簡化記成 ,以此類推

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線性電阻器與非線性電阻器

依歐姆定律此電阻器稱為線性電阻器。

電阻器若與電流 - 電壓規則不同則稱為非線性電阻器,其阻抗依流經他的電流不同而有所差異

(a) 線性電阻器的電流 - 電壓關係圖例;(b) 非線性電阻器的電流 - 電壓關係圖例。

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電阻器瞬間功率
  • 因電阻器的是正值 (且也非負值 ),故此元件是耗損功率,積分瞬間功率也是非負值,因此電阻器符合被定義為一被動元件。
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電 導
  • SI的電導單位是西門子(Siemens),以S符號表示。
  • 電導另個單位是姆歐,在美國較普遍使用,是將電阻歐姆倒唸而表示符號也將顛倒成
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例題2.5  圖2.10求電流 和 電阻器吸收的功率p和每半小時散逸的能量

若 和 皆符合被動符號習用法,依歐姆定律 式子,得i=10V/1000Ω=10mA,且

,因此功率在半小時中是常數,故依(1.7)是在 到

秒得

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短路和開路
  • 短路是電阻值為0,即良好的導體可傳導任何容量的電流,不會在其上產生電壓降。
  • 短路如同兩點以一線相連。
  • 開路表示電阻為0西門子,即良好絕緣體不管供應任何電壓都無法使電流流過。
  • 開路等於一個無窮大的抗阻,如同一條斷線。
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2.3 等效次電路
  • 次電路是電路的任何部分,其包括任何數目互連的元件,但只有兩個端,稱為雙端次電路。
  • 兩個雙端次電路有相同的端點定律,則視為等效。
  • 等效的重要性是“等效次電路可任意調換而不會改變外在的電流或電壓”。
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   求圖2.13中兩個次電路的端點定律。在2.13(a) 中 ;在 (b) 中將歐姆定律應用到每一電阻器,得 ,則依KVL, 或

,因端點定律相同,故次電路也等效。

例題2.6

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2.4 串聯等效電路和分壓
  • 若兩個相鄰元件共用一個節點,且沒有其它電流流進,則可稱為串聯,元件不相鄰但兩者與同一元件串接也可算是串聯,因此串聯元件鏈可以是任何長度形式
  • 依KCL,串聯的元件流過的電流一樣。
  • N個電阻器串聯的通式
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分壓的基本原理
  • 跨於串聯電阻上的電壓和它的阻抗成正比。
  • 在一個分壓器上較大的阻抗可分得較大的電壓降。
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例題2.7 圖2.16中,若 上的電壓為 求

值等於多少?因 依KVL, 因 形成一個分壓器,它們的電壓依它們阻抗的比例,電壓比為

,故阻抗比例 ,若 則

圖2.16 分壓器例題

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例題2.8另例如圖2.17中,若 ,求迴路電流、電阻電壓和各元件釋放或損耗的功率?以

等效電阻取代三個串接電阻,依歐姆定律,迴路電流為

而電壓為

雖然我們不是明確的使用分壓原理,但三個電壓值對它們的阻抗是成比例關係。

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接著計算功率,因 和 與 的關係均符合被動符號慣例,元件的功率損耗依 乘積得

功率損耗也和阻抗成比例關係,主要乃因分壓原理和串接元件具有相同電流的事實。最後,電源的 和

不符被動符號習用法 ( 電流參考方向指出,而非指入電壓參考方向的正端 ),故正 乘積意味供應了瞬間功率而不是損耗。電源釋出功率為

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圖2.17 單迴路電路

因此在電路中,瞬間釋出功率等於消耗功率,此即Tellegen’s定理或電功率守恆,在第10章會提到

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例題2.9求圖2.19(a) 中之

因三個電壓源串聯,以單一等效電壓源取代,電壓參考方向如圖2.19所示。

因 ,所以 。若我們指定與電源函數

相反參考方向,則可得 且 ,故

,再次得 ,所以等效電源函數不必去猜測其最好的參考方向。

圖2.19(a) 單迴路電路;(b) 等效電路。

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串聯電壓源
  • 串聯電壓源可等效成單一電壓源,而該電壓源的電源函數等於串聯的電源函數代數和。
  • N個電壓源串接,

全部電壓是電壓函數

的代數和。

(a) 串聯電壓源;(b) 等效電路。

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2.5 並聯等效電路的分析
  • 若兩元件形成一迴路且不包含其它元件,則稱它們是並聯。
  • 元件並聯則兩端的

電壓相同。

(a) 單節點電路;(b) 等效電路。

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例題2.10圖2.22中, 如何分配給四個電阻器?依它們的電阻分別求出電導為

和 ;依分流原理,電流分配比例為4比2比2比1

, 分得最多電流,而 最少,等效並聯電導和為

依 (2.16) 式,四並聯電阻電流分別

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讓我們來瞭解功率如何被分配,電壓可從等式中求得

也就是任何電阻的電流除以該電阻的導電值即可求得,若在圖2.22中電壓和電阻電流皆符合被動元件習用法,則 損耗功率為

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同理, 和 可求得 ,而 為 。回到電源部分,因電壓和電流違反被動元件習用法,此元件供應功率(而非消耗)為電壓電流乘積。

電源供應的 被依電流比例分配由電阻組成的分流器,供應的功率等於整個電路消耗的功率

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例題2.11求圖2.24的 及 。

因兩電流源並聯,可以等效成單一電流源取代,如圖所示,注意等效電源參考方向的選擇。

;兩串聯電阻等效成 ,而此 又與 電阻並聯,得

因此, ,且 ;

注意此處歐姆定律中的負號,因 流出 的正端且此對變數違反了被動符號習用法。

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分流的基本原理
  • 電流流經並聯電阻,分割的電流和它們的電導值成正比關係。
  • 較小的阻抗 ( 即較大的電導 ) 將分得較大的電流。
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並聯電流源
  • 並聯電流源等效成單一電流源時,該電流源電源函數是全部並聯電流源電源函數的總和。

(a) 並聯電流源;(b) 等效電路。

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戴維寧形式由戴維寧等效電壓源和戴維寧等效電阻所串聯而成。
  • 諾頓形式由諾頓等效電流源和諾頓等效電阻並聯組成。
  • 由電壓源 和電阻 串聯而成的戴維寧形式,等效於由電流源 和電阻 並聯組成的諾頓形式;若
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戴維寧等效電路
  • 一個次電路具有開路電壓 和短路電流 ,其戴維寧等效電路可由

求出。

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例題2.12求圖2.26中

圖2.26 例題2.11電路

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首先將虛線右半部的諾頓形式以戴維寧形式取代之,因 和 ,故 且 ,如此便可替換得圖2.27(a)。此簡單的單迴路電路可再進一步將串聯的電阻器和電源予以簡化,得圖2.27(b),從這個電路得

圖2.27(a) 圖2.26戴維寧 - 諾頓轉換後;(b) 組合串聯元件。

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等於戴維寧形式中 和 ,而於諾頓形式中 和 ;選用諾頓形式替代電路可得圖2.29(b) 之單節點對電路,再依KCL

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諾頓等效電路
  • 一個次電路具有開路電壓 和短路電流 ,諾頓等效電路可由

求出。

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例題2.14求圖2.30電路的戴維寧和諾頓等效電路。

若要求 ,則假設端點呈開路,即 ,故 電阻上無電流通過,因分壓原理得

且依KVL繞行左側迴路,得 故戴維寧等效電壓源是 。求 則假設端點短路即

,則最左邊的兩個電阻便呈並聯,得

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此時 相當是24V被兩個 電阻分壓得

在短路條件下 也等於跨於 電阻上的電壓,依歐姆定律得 。然後求 得

因此 。此戴維寧形式和對應的諾頓形式如圖2.31所示

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例題2.15考慮圖2.30電路,刪掉內部電源後得圖2.32,從端點看進去的阻抗由 與 電阻並聯成

等效電阻後,再加上串接的 阻抗,得

,與例題2.14所求的結果相同

圖2.32 例題2.15電路

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總 結
  • KCL說明流進任何節點或區域的淨電流為零。
  • KVL說明繞行任何迴路的淨電壓為零。
  • 電阻的電流 - 電壓定律是歐姆定律,為 , 為電阻,單位歐姆,且正確的電流和電壓須符合被動符號習用法。
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電阻器是被動元件,亦即它們不能供應功率。
  • 兩個次電路若有相同的電流 - 電壓定律則表示兩者等效。等效次電路於不改變任何外加變數下,可隨意的互換;例子如串 - 並聯和戴維寧 - 諾頓等效電路。
  • 串聯電阻增加,並聯電導增加。
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並聯電阻依倒數 - 倒數定律:等效電阻值為並聯電阻的倒數和的倒數。
  • 串聯電壓分配與電阻成比例,而並聯電流分配則與電導成比例( 或電阻的反比 )。
  • 戴維寧形式為電壓源和電阻相串接而成,而諾頓形式為電流源和電阻相並聯。
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任何雙端次網路必有一戴維寧和諾頓等效形式,其可由開路電壓,短路電流和從端點看進去電阻得到。
  • 戴維寧和諾頓轉換非常好用,將欲分析的電路區域以較簡單電路替代,而且不會造成範圍外的電流或電壓任何改變。
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