数学建模(1)

数学建模(1) 桂林师范高等专科学校数学与计算机科学系蒋晓云

第一章数学模型概述 • 数学模型的历史 • 数字时代 20世纪70年代 20世纪80年代 • 现今数学模型已经从传统的物理领域渗透到各行各业中，如经济、法律、医学、农业、交通、军事等领域。 • 实际问题数学工具建立数学模型

第一节数学模型概念 什么是数学模型？国外曾有人为它下了一个简单的定义：把实际问题中各量之间的关系用数学形式表示出来，叫数学模型。由于它的广泛性这样的定义是难以真正理解它的真实含义的。下面我们举例来说明之。 • （1）各种应用题的解过程都是数学模型。小学的数学题可以分为文字题、码字题两类，文字题较难，何况还可以有不同的方法、思路，这部分就是在建模。码字题是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有这样一道题：

鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 用x,y分别表示鸡与兔，可以列出方程 x+y=46 ,2x+4y=128 实际上，这组方程就是上述鸡兔同笼问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解为x=28,y=18,这就是鸡兔问题的答案。（2）九大行星的发现过程。（3）美国总统竞选的模拟。（4）内燃机阵真。 ( 5) 冲压过程的有限元模型。（6）到处都有数学模型的问题。20年前中央发下的售房的价格通知中，有这样一个公式，根据房子成本价、使用年限以及工龄等可算出应售出的价格。公式中有一括号，括号内是加减运算，其中一项是工龄，括号外是一乘法运算，因子是用房子使用年限构成的“成新率”，含义是按使用年限对房屋进行折旧。

数学建模的精确定义 数学建模是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预测、决策或控制，在经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结果必须经受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环（如图1-1）。如果检验的结果是正确或基本正确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。

图1-1 实际问题简化、假设建立模型模型应用验证分析模型求解

作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符号的）表示。更具体的，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，动用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。（1）按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等数学模型、人口模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等

（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（2）按照数学模型应用领域的不同，可分为人口模型、交通模型、体育模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生理模型、生态模型、企业管理模型等。（3）按照人们对建模机理的了解程度的不同，有所谓的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。（4）按照模型的表现特性可分为：确定性与不确定性模型，不确定模型包括随机性与模糊性模型；静态模型与动态模型；离散模型与连续模型；线性模型与非线性模型。

第二节建立数学模型的方法与步骤 一、建立数学模型的方法

二、数学建模的基本步骤

第三节数学建模实例 1 、动物数量预测动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简单化，可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而预测动物的未来数量。现考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指他们中间除了本族的出生和死亡之外，既无迁出也无迁入。设在t时间内这种动物的数量为Ｎ，并设他们的出生率与死亡率分别为n与m。假设他们的出生数与死亡数都和t时的动物数及时间成正比。现在讨论动物数Ｎ与时间t之间的函数关系。

解：设[t，t+dt]时间间隔内动物数量的增量为dN，由题意，在dt时间内这类动物的出生量与死亡量分别为nNdt与mNdt。根据解：设[t，t+dt]时间间隔内动物数量的增量为dN，由题意，在dt时间内这类动物的出生量与死亡量分别为nNdt与mNdt。根据增量=出生量-死亡量容易得到 dN=nNdt-mNdt 即如果处始条件为N|t=0 =N0，解上变量可分离方程，得则

或写成 从上式看出，如果n > m，则动物数量将无限增加；如果m > n，则动物数量将逐步减少，趋于灭亡。这样的结论是非常天真的，事实决不会如此简单。为此生物学家及数学家根据统计数据对n，m作了修正，使节果能更符合事实。比如，设 n=a-bN，m=p+qN，式中a，b，p，q均为正常数。上两式说明出生率与死亡率已不再是常数。而是N的线性函数，前者均匀随N减小，后者均匀随N增加。这时方程（1-1）化为

令则上式可化为即积分上式{注意到 } 得

或其中 No是 t = 0 时的动物数，不论初值 No 是多少，当时，N的极限总为。可以用实验的方法对不同的问题，像人口的增长、传染病的发生率等来确定（1—3）式的图形。这个图形称为逻辑斯谛（Logistic）曲线。所以2004年的动物数量是174(百万)只。 2. 在越野赛中取胜的办法越野赛在湖边举行，场地情况如图1-２所示：出发点在陆地Ａ处，终点在湖心岛Ｂ处，Ａ，Ｂ南北相距

5km，东西7km，湖岸位于Ａ点南侧２km，是一条东西走向的笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从Ａ出发到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点Ｂ。已知运动员甲跑步速度为v1=18km，游泳速度为v2=6km。问他们应该在长堤的何处下水才能使比赛用时最少？5km，东西7km，湖岸位于Ａ点南侧２km，是一条东西走向的笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从Ａ出发到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点Ｂ。已知运动员甲跑步速度为v1=18km，游泳速度为v2=6km。问他们应该在长堤的何处下水才能使比赛用时最少？图1-2 y 北 y A(0,2) R(X，0) x O B(7,-3) 湖

解　　以长堤作为 x 轴建立直角坐标系，A，B的坐标分别是Ａ（０，２），Ｂ（７，－３）。设甲在 x 轴上R(x，0)处下水。为使耗时最少，运动员在陆上和水中的运动路线应该都取直线。跑步耗时游泳耗时全程总耗时

求，使达到极小。 （1-5）令得（1-6）利用（1-6）可解出驻点: 计算可知，类似可得比较端点与驻点处的值，可知时达到最小值。因此，甲应该在处下水，才能使比赛全程用时最少。

数学建模练习 • 1、兔子繁殖问题：假设一对兔子每两个月恰生一对雌雄小兔。现有一对兔子，问一年后有多少只兔子？ • 2、买水问题：假设5个空瓶能换1瓶水。要喝161瓶水需最少买几瓶水？ • 3、细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24小时内由100变为400，那么前12小时后总数为多少？ • 4、有这样一个逻辑定理:随便一句假话都能推出任何一句话。有人要英国大哲学家罗素证明从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。你能否帮罗素解决这个问题？ • 5、淋雨问题：你要在雨中从一处走到另外一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？

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