第三章杆件的扭转理论

第三章 杆件的扭转理论

§3-1 直杆的扭转 在船舶结构中，单纯发生扭转的杆件虽然不多，但不少结构在弯曲的同时还发生扭转。典型的如： 1.船体中的板架——交叉梁系，当它发生弯曲时，一般来说其中的梁都会发生扭转；

2.整个船体在斜浪上航行时船体将发生扭转；

3.对于大开口的集装箱船，考虑扭转强度是十分必要的3.对于大开口的集装箱船，考虑扭转强度是十分必要的

分类： 自由扭转如果一等断面杆仅在两端受到扭转作用，并不受其他任何约束，杆在扭转时可以自由变形，这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转” 非自由扭转如果杆在受到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在扭转时不能自由变形，这种扭转称为“非自由扭转”或“约束扭转” 实际结构中的杆件扭转大多数应属于约束问题

杆件的扭转特征因断面的形状不同而有所不同，本章将讨论圆断面杆、开口薄壁杆与闭口薄壁杆的自由扭转以及开口薄壁杆的约束扭转。 1.圆断面杆的自由扭转

断面的最大剪应力为： （3—1）（3—2）式中G为剪切模数，GJ为杆的“抗扭刚度”

对于内径和外径分别为d=2r及D=2R的空心圆断面，其极惯性矩为：对于内径和外径分别为d=2r及D=2R的空心圆断面，其极惯性矩为：断面上内径及外径处的剪应力分别为：如图，可以得出：断面的剪应力沿圆周方向形成一剪应力流。

对于薄壁圆管，r和R相差不大，则和 亦相差不大并可认为它们差不多相等，有：（3—3）式中：D1=(D+d)/2,t=(D-d)/2；剪应力流为：（3—4）式中：为薄壁管壁中心线所包围的面积。

2. 非圆断面的自由扭转 如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征有所不同，其主要差别在于非圆断面的杆在扭转时断面不再保持平面而将发生“翘曲”。但在自由扭转的条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各断面的翘曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线。

在弹性力学中已导得狭长矩形断（长边与短边之比大于5）的扭率与剪应力计算公式：（3—5）其中断面在长边周界中点的剪应力最大，其值为：（3—6）

§3-2 薄壁杆件的自由扭转 在工程中，所谓薄壁杆件是指杆件的三个尺度——即杆件的长度、断面的高（宽）度与厚度相比都相差很大的杆件，又称薄壁型材。例如：闭口薄壁杆件开口薄壁杆件角钢工字钢槽钢圆弧形方形

1.开口薄壁杆件的自由扭转 一个等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转，使得杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图：一工字形梁在自由扭转时的变形情况：梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为平面，上下翼板在梁轴向沿相反的方向发生翘曲。

刚周边假定：薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件扭转后断面在其原来平面中的投影形状与原断面形状相同。刚周边假定：薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件扭转后断面在其原来平面中的投影形状与原断面形状相同。（对工字梁而言，扭转后断面的投影仍为工字形）根据刚周边假定，我们在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一刚体一样发生平面运动，因此断面在扭转时其各个组成部分的扭角都相同，右图为工字形断面在扭转后的变形情况：

上图中的工字梁断面可以看作由三个狭长矩形断面所组成，并设h1、t1、h2、t2及h3、t3分别代表三个狭长矩断面的长边和短边，若整个工字形断面上的扭矩为Mt，扭率为，则每一狭长矩形断面的扭率都应该相同，即：（3—7）式中；分别为相应于三个狭长矩形断面上的扭矩；J 为整个工字形断面的扭转惯性矩。

且满足： 整个工字形断面的扭转惯性矩为：结论：J 等于组成断面的各狭长矩形断面的扭转惯性矩之和。考虑到实际薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆角连成一体，因此略为增加了刚度，可以推广到下式：

推广到一般情况： （3—9）式中分别为第i个狭长矩形断面的长边与短边的长度，与型钢断面形状有关。角钢： =1.0；工字钢： =1.2；槽钢： =1.12； T型钢： =1.15

任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作是狭长矩形断面组合的结果，故其扭转惯性矩可有下式推广得到：式中s为沿薄壁断面中心线的坐标；s1为薄壁断面的长度。结论：开口断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比例，因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，亦就是说开口薄壁杆件的壁厚越小，它的抗扭能力越差，反之壁厚增加，抗扭能力就会大大增加

求得了扭转惯性矩之后，就可以按公式 计算杆件在自由扭转时的扭率；杆件在自由扭转时断面的剪应力和狭长矩形断面自由扭转时一样：沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线处为零，在断面周界上任意点处的剪应力值为: （3—11）结论：在断面薄的地方，其周界处的剪应力小，在断面厚的地方，其周界处的剪应力就大，工字形断面在自由扭转时的剪应力分布如右图：

2.闭口薄壁杆件的自由扭转 闭口薄壁杆件在自由扭转时的特性可用空心圆管在自由扭转时的结果得到，其最主要的一个特点就是杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。对于薄壁杆件，因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，这样就可用剪应力与壁厚的乘积来进行分析，这个就称为剪应力流或简称“剪流”，用符号表示。

一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 作用而发生自由扭转，x轴为形心轴现在杆件中取出的一微块，剪流如上，于是根据微块的平衡条件可得：

最大剪应力将发生在壁厚最小的地方， 最小剪应力将发生在壁厚最大的地方。杆件断面中剪流对断面上任意一点的力矩应等于扭矩，把剪流对断面与X轴的交点（O点）取矩，则有：为断面上长度与O点之间所形成的三角形面积的两倍（阴影部分）

沿断面周长的积分则为断面中心线所围成的面积的两倍，我们用2A表示，即：于是得或上式就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为布雷特（Bredt)公式。

下面将运用材料力学中的“单位力法”推导一个联系扭角与剪应力的“环流方程式”：应用单位力法计算杆件扭转变形时，将两端受扭矩Mt作用的闭口薄壁杆叫做第一状态，同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，于是第二状态外力对第一状态变形的功1X 应等于第二状态的内力对第一状态应变的功即应变能。

为了计算应变能，在杆中考虑 的微块，则有应变能为：式中为第二状态杆中的剪应力；为第一状态杆中的剪切角。有：

于是得 或即环流方程式（3—14）将代入后，即得闭口薄壁杆自由扭转的扭率为：（3—15）（3—16）式中为闭口薄壁断面的扭转惯性矩

对于直径为D1，壁厚为t的圆管由（3—16）式得：对于宽为，高为b，厚度为t的盒形薄壁断面（如下图），由（3—16）可得：（3—17）单闭室断面

下面将进一步研究更为复杂的情况，即具有由两个或两个以上的闭口所形成的薄壁断面杆件的自由扭转问题。双闭室断面如图，设此双闭室断面的薄壁杆件在扭矩的作用下发生自由扭转，在这种情况下，断面中每一段的剪流常数的结论仍然成立。下面就来计算这个剪流的大小将此双闭室断面分为两个区，左室为室，右室为室，剪流分别为方向如图所示：

由上图可知在在两个区的公共壁（CF段）中的剪流为（方向向上）：下面先建立剪流对断面中任意点，例如图中的O点的力矩等于扭矩Mt的方程式，有：式中r为剪流到O点的垂直距离，积分号下的符号表示积分路线，如FABC即表示积分路线为 ,其它类推。

化简： 即：式中为第区面积的两倍，为第区面积的两倍，分别用符号2A1及2A2表示之。

即（3—18）补充方程式求解未知数和，方程式可依据第区与第区的变形相同（即扭率相同）的条件列出，为此利用公式（3-14)分别写出两区的扭率，如下：对于第区，在FABC段的剪流为，CF段的剪流为，故有：式中为FABC段的壁厚；为CF段的壁厚。

同理对第区有： 式中为CDEF段的壁厚。令，可得：（3—19）联立方程式（3—18、3—19）即可求出、

现具体计算一简单的例子。如图所示的等厚度双闭室断面，这时公式（3—18）将为：现具体计算一简单的例子。如图所示的等厚度双闭室断面，这时公式（3—18）将为：或（3—20）公式（3—19）将为或（3—21）

公式（3—21）给出，代入（3—20），即得 因而断面中间壁上的剪流。此杆件的扭率为则得此双闭室断面的扭转惯性矩为：

分析：上述双闭室断面的扭转惯性矩与宽2 , 高为，厚度为t的单闭室断面的扭转惯性矩相同，这是因为所论的双闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在扭转中不起作用，所以其扭转惯性矩就和上述的单闭室断面一样。总结：如果薄壁杆断面由两个以上的闭口形成，用上面同样的方法可以求出自由扭转时的剪流与扭率，即建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式及建立各室扭率相同的方程式然后求解，在最后得出了扭率之后，将扭率写成，即可求出。

由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗扭刚度，所以如果杆件断面既有闭口部分又有开口部分，则在计算扭转惯性矩时常可以不计开口部分的面积。具有单壁的集装箱船断面就是这种例子：双底为闭口部分，舷侧开口，计算它的抗扭惯性矩时可以只算双底的闭口部分，是一个多闭室断面，并进一步可略去底纵桁的作用而将它视为单闭室断面。

为了使舷侧在扭转中发挥 作用，目前有将集装箱船做成双壁的，如右图，这时断面成了多闭室的，其抗扭刚度可以提高很多。在计算这种双壁双底断面时亦可将其中的纵桁等略去而近似的当作一单闭室来处理，于是有抗扭惯性矩为：（3—22）式中。

§3-3 开口薄壁杆件的约束问题 1. 基本概念开口薄壁杆件在约束扭转时的主要特点是扭转时各断面的翘曲不同。翘曲不等就使得梁的轴向纤维有轴向伸长或缩短，从而有轴向应力；又因为梁中各轴向纤维的伸长不一定相同，所以又将导致梁发生弯曲，对工字梁来说，其上下翼板在相反方向弯曲，并产生有弯曲正应力与剪应力。因此杆的约束扭转又称为“弯曲扭转”。

下图为工字梁在一端刚性固定时的扭转的情形，这时梁自由端的变形——扭角与翘曲为最大，而在固定端的变形为零，因此梁各断面的扭率及翘曲不会相等。

约束扭转时因弯曲发生的剪应力称为二次剪应力，因此约束扭转时断面的剪应力为自由扭转剪应力与二次剪应力之和。二次剪应力在断面内并将形成扭矩称为二次扭矩，因此约束扭转时断面的扭矩（Mx）为自由扭转的扭矩与二次扭矩之和，即：（3—23）此式为开口薄壁杆件约束牛扭转的基本关系。

1. 约束扭转的扭角微分方程式 这里不作一般推导，仅以工字梁为例来导出约束扭转的扭角微分方程式。取如图坐标，设梁在外扭矩作用下任意断面的扭角为，则梁的上下翼板分别发生位移，这个位移就是翼板在平面内的弯曲挠度：对上翼板有，对下翼板有，满足下列关系：

上翼板 下翼板式中M与N分别为翼板断面中之弯矩与剪力，因此在翼板中有弯曲正应力与剪应力为翼板断面的惯性矩，若翼板宽度为b，厚度为t,则。

上下翼板的剪力方向相反，因此在梁断面上形成了扭矩即二次扭矩，它等于：注意：到此扭矩方向与相反，因此记为负的，令（3—24）代入基本关系（3—23）中，得：（3—25）

如果梁上受到的是沿梁长作用的分布外 扭矩（如下图），则可由平衡条件导得，于是由（3—25）式得：（3—26）这就是工字梁的约束扭转扭角微分方程式，它的形式与第二章§2-5 梁的复杂弯曲（轴向拉力时）的弯曲微分方程式（2—53）完全相同，因此可用同样的方法求解，在此不再详述。

讨论： （3—26）一旦由上式求得了扭角，即可计算扭率及翼板的挠度，于是翼板的弯曲正应力与剪应力（二次剪应力）均可求出。梁的最终剪应力为自由扭转的剪应力与二次剪应力之和。上式可以推广到任意形状断面的开口薄壁杆件的约束扭转，式中的称为断面的“弯曲扭转惯性矩”。

本章结束

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