{ 范例 3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期

1. {范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为RE = 6.378×106m，人造卫星距地面的最近高度(即近地点)为h1 = 4.39×105m，最远高度(即远地点)为h2 = 2.384×106m。卫星在近地点的速度为v1 = 8.10×103m/s。具体描绘卫星运动的轨迹？求卫星在远地点的速度v2和运动的周期T。 [解析]取地球中心为坐标原点，则表示地球圆周的参数方程为 卫星椭圆轨道的半长轴为 a = (h1 + h2 + 2RE)/2 = (r1 + r2)/2 x = REcosθ，y = REsinθ 其中，r1 = RE + h1，r2 = RE + h2。 半短轴为 焦距为c = a - RE – h1 = (h2 - h1)/2， 其参数方程为 椭圆的方程为 x = acosθ - c，y = bsinθ 设卫星的质量为m，卫星在近地点的角动量为L1 = mv1r1，在远地点的角动量为L2 = mv2r2，根据角动量守恒定律可得

2. {范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 方法一：用开普勒第二定律求周期。 行星运动的开普勒第二定律是：行星对太阳的矢径在相等时间内扫过相等的面积。 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS/dt = C。 根据近地点的速度和距离可计算常数 当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。 椭圆的短半轴可表示为 椭圆的面积为S = πab， 因此卫星的周期为

3. {范例3.9} 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期 方法二：用开普勒第三定律求周期。 行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。 该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2/a3 = C。 如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。 假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀速圆周运动，其周期为T0，则常数C为 假设卫星的质量为m，在绕地球做匀速圆周运动时，根据向心力公式得 其中，G是万有引力常数，ME是地球质量。 我国第一颗人造地球卫星的周期为 由于ω = 2π/T0，所以常数为C = 4π2/GME。 这是一个由地球质量决定的常数，地球质量越大，常数就越小。

4. 我国第一颗人造地球卫星的轨迹是椭圆，在近地点速度最大，在远地点速度最小，只有6.3km/s。我国第一颗人造地球卫星的轨迹是椭圆，在近地点速度最大，在远地点速度最小，只有6.3km/s。 根据开普勒第二定律求出卫星周期约为6850s，根据开普勒第三定律求出卫星周期约为6840s。 用两种方法计算的周期有点差别，这是因为计算中的数值都是近似值。